Question

19．已知函数f（x）=x-ae^x（a为实常数）．
（1）若函数f（x）在x=0的切线与x轴平行，求a的值；
（2）若f（x）有两个零点x₁、x₂，求证：x₁+x₂＞2．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，利用导数的几何意义，即可得到结论．
（2）由题意可求出0＜a＜$\frac{1}{e}$；则a=$\frac{x}{{e}^{x}}$的两个不同根为x₁，x₂，作出y=$\frac{x}{{e}^{x}}$的图象，利用数形结合证明．

解答 解：（1）函数的导数f′（x）=1-ae^x，
∵f（x）在x=0的切线与x轴平行，
∴f′（0）=0，
即f′（0）=1-a=0，解得a=1．
（2）由f（x）=x-ae^x=0得a=$\frac{x}{{e}^{x}}$，
设g（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，
则g′（x）=$\frac{{e}^{x}-x{e}^{x}}{（{e}^{x}）^{2}}$=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，
由g′（x）＜0得x＞1，由g′（x）＞0得x＜1，
即函数g（x）在x=1时，取得极大值g（1）=$\frac{1}{e}$，
则要使f（x）有两个零点x₁、x₂，
则满足0＜a＜$\frac{1}{e}$，
则x₁=ae^x₁，x₂=ae^x₂；
∵g（x）在（-∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；
又∵当x∈（-∞，0]时，g（x）≤0，
故不妨设x₁∈（0，1），x₂∈（1，+∞）；
对于任意a₁，a₂∈（0，$\frac{1}{e}$），设a₁＞a₂，
若g（m₁）=g（m₂）=a₁，g（n₁）=g（n₂）=a₂，
其中0＜m₁＜1＜m₂，0＜n₁＜1＜n₂，
∵g（x）在（-∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；
又∵g（m₁）＞g（n₁），g（m₂）＞g（n₂）；
∴m₁＞n₁，m₂＜n₂；
∴$\frac{{m}_{2}}{{m}_{1}}$$＜\frac{{n}_{2}}{{n}_{1}}$；
故$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$随着a的减小而增大，
令$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=t，
x₁=ae^x₁，x₂=ae^x₂，可化为x₂-x₁=lnt；t＞1；
则x₁=$\frac{lnt}{t-1}$，x₂=$\frac{tlnt}{t-1}$；
则x₂+x₁=$\frac{（t+1）lnt}{t-1}$，
令h（t）=$\frac{（t+1）lnt}{t-1}$，
则可证明h（t）在（1，+∞）上单调递增；
故x₂+x₁随着t的增大而增大，即
x₂+x₁随着$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$的增大而增大，
故x₂+x₁随着a的减小而增大，
而当a=$\frac{1}{e}$时，x₂+x₁=2；
故x₁+x₂＞2．

点评 本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，同时考查了数形结合的思想应用，属于难题