Question

12．已知函数f（x）=$\sqrt{x+1}$-alnx（a∈R），求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 利用导数求函数的单调区间的步骤是①求导函数f′（x）；②解f′（x）＞0（或＜0）；③得到函数的增区间（或减区间），在求单调区间时要注意函数的定义域以及对参数a的讨论情况

解答 解：由于函数f（x）=$\sqrt{x+1}$-alnx，f′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x+1}}$-$\frac{a}{x}$，（x＞0），
①当a≤0时，易知f'（x）＞0恒成立，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，
②当a＞0时，令f′（x）=0，得到x²-4a²x-4a²=0，则△=16a⁴+16a²＞0，解得x=2a²-2a$\sqrt{{a}^{2}+1}$＜0（舍去），x=2a²+2a$\sqrt{{a}^{2}+1}$，
当f′（x）＞0；即x＞2a²+2a$\sqrt{{a}^{2}+1}$，函数单调递增，
当f′（x）＜0，当0＜x＜2a²+2a$\sqrt{{a}^{2}+1}$，函数单调递减；
综上所述：当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，
当a＞0时，函数f（x）在（2a²+2a$\sqrt{{a}^{2}+1}$，+∞）上单调递增，在（0，2a²+2a$\sqrt{{a}^{2}+1}$）上单调递减．

点评 本题考查利用函数的导数来求函数的单调区间，考查函数单调性的性质，构造函数求解证明不等式问题，属于中档题