Question

1．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知4sin²$\frac{A+B}{2}$-cos2C=$\frac{7}{2}$，且c=2，则△ABC的面积的最大值为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由条件利用二倍角公式求得cosC的值，再利用余弦定理、基本不等式求得ab的最大值，可得△ABC的面积$\frac{1}{2}$ab•sinC 的最大值．

解答 解：△ABC中，∵4sin²$\frac{A+B}{2}$-cos2C=$\frac{7}{2}$，∴2[1-cos（A+B）]-（2cos²C-1）=$\frac{7}{2}$，
化简可得 cos²C-cosC+$\frac{1}{4}$=0，解得cosC=$\frac{1}{2}$．
∵c=2，则由余弦定理可得4=a²+b²-2ab•cosC≥2ab-2ab•$\frac{1}{2}$，∴ab≤4，
故△ABC的面积$\frac{1}{2}$ab•sinC 的最大值为$\frac{1}{2}$•4•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查二倍角公式、余弦定理、基本不等式的应用，属于基础题．