Question

13．已知f（x）=x³-9x²cosα+48xcosβ+18sin²α，g（x）=f′（x），且对任意的实数t均有g（1+e^-|t|）≥0，g（3+sint）≤0．
（1）求cosα+2cosβ的值．
（2）若φ（x）=$\frac{1}{3}$x³-2x²cosβ+xcosα，设h（x）=lnφ′（x），对于任意的x∈[0，1]，不等式h（x+1-m）＜h（2x+2）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据恒成立列出关于角α的方程或不等式（组），然后求解；
（2）这是一个不等式恒成立问题，可利用单调性构造出关于m的不等式（组）求解．

解答 解：（1）因为g（x）=f′（x）=3x²-18xcosα+48cosβ．
又因为1+e^-|t|∈（1，2]，3+sint∈[2，4]由题意知g（x）≥0在x∈（1，2]恒成立
g（x）≤0在x∈[2，4]恒成立，故g（2）=0且g（4）≤0．
即有$\left\{\begin{array}{l}{g（2）=12-36cosα+48cosβ=0}\\{g（4）=48-72cosα+48cosβ≤0}\end{array}\right.$⇒36-36cosα≤0⇒cosα≥1⇒cosα=1．
所以cosβ=$\frac{1}{2}$，所以cosα+2cosβ=2．
（2）由（1）知φ（x）=$\frac{1}{3}{x}^{3}-{x}^{2}+x$，
所以φ′（x）=x²-2x+1=（x-1）²．
所以h（x）=lnφ′（x）=2ln|x-1|．
h（x+1-m）=2ln|x-m|，h（2x+2）=2ln|2x+1|，
因为x∈[0，1]，所以|2x+1|=2x+1，所以ln|2x+1|=ln（2x+1）．
h（x+1-m）＜h（2x+2）?0＜|x-m|＜2x+1．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2x-1＜x-m＜2x+1}\\{x≠m}\end{array}\right.$?$\left\{\begin{array}{l}{-x-1＜m＜3x+1}\\{x≠m}\end{array}\right.$．
当x∈[0，1]时，-x-1∈[-2，-1]，3x+1∈[1，4]⇒-1＜m＜1．
因为x≠m，所以m∉[0，1]．故-1＜m＜0．

点评 本题考查了利用不等关系求值的思路，主要还是结合函数的性质求解，二是关于不等式的恒成立问题，往往借助于函数的最值解决问题．