Question

4．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n=log_n（n+1）（n≥2，n∈N^*），定义：使乘积a_1•a_2•…•a_K为
正整数的k（k∈N^*）叫做“简易数”．
（1）若k=3时，则a₁•a₂•a₃=2；
（2）求在[3，2015]内所有“简易数”的和为2024．

Answer 1

分析 利用a_n=log_n+1（n+2），化简a₁•a₂•a₃…a_k，得k=2^m-2，给m依次取值，可得区间[3，2015]内所有简易数，然后求和．

解答 解：（1）当k=3时，则a₁•a₂•a₃=1•log₂3•log₃4=log₂4=2；
（2）∵a_n=log_n+1（n+2），
∴由a₁•a₂…a_k为整数得1•log₂3•log₃4…log_（k+1）（k+2）=log₂（k+2）为整数，
设log₂（k+2）=m，则k+2=2^m，
∴k=2^m-2，
∵2¹¹=2048＞2015，
∴区间[3，2015]内所有和谐数为：2³-2，2⁴-2，…，2¹⁰-2，
其和M=2³-2+2⁴-2+…+2¹⁰-2
=2³（1+2+2²+…+2⁷）-2×8
=${2}^{3}×\frac{1-{2}^{8}}{1-2}$-16
=2024．
故答案为：2，2024．

点评 本题以新定义“简易数”为切入点，主要考查了对数的换底公式及对数的运算性质的应用，注意解题方法的积累，属于中档题．