Question

14．已知数列{a_n}中，a₁=3，a₂=5，其前n项和S_n满足S_n+S_n-2=2S_n-1+2^n-1 （n≥3）；
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=na_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过S_n+S_n-2=2S_n-1+2^n-1 （n≥3）变形可得a_n=a_n-1+2^n-1（n≥3），利用a_n=a_n-a_n-1+a_n-1-a_n-2+…+a₃-a₂+a₂计算即可；
（Ⅱ）通过b_n=n•2ⁿ+n可得T_n=（2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ）+（1+2+3+…+n），令T=2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，利用错位相减法可求出T，再计算1+2+3+…+n，
计算即可．

解答 解：（Ⅰ）∵S_n+S_n-2=2S_n-1+2^n-1 （n≥3），
∴S_n-S_n-1=S_n-1-S_n-2+2^n-1（n≥3），
即a_n=a_n-1+2^n-1（n≥3），
∴a_n=a_n-a_n-1+a_n-1-a_n-2+…+a₃-a₂+a₂
=2^n-1+2^n-2+…+2²+2+1+2
=2ⁿ+1（n≥3），
检验知n=1、2时，结论也成立，
∴a_n=2ⁿ+1；
（Ⅱ）∵b_n=na_n=n•2ⁿ+n，
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=（2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ）+（1+2+3+…+n），
令T=2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
则2T=2²+2×2³+3×2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，
两式相减，得-T=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹，
∴T=2（1-2ⁿ）+n•2ⁿ⁺¹=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹，
∵1+2+3+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+$\frac{{n}^{2}+n+4}{2}$．

点评 本题考查求数列的通项、前n项和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．