Question

6．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点F₁，F₂其离心率为e=$\frac{1}{2}$，点P为椭圆上的一个动点，△PF₁F₂内切圆面积的最大值为$\frac{4π}{3}$．
（1）求a，b的值
（2）若A、B、C、D是椭圆上不重合的四个点，且满足$\overrightarrow{{F}_{1}A}$∥$\overrightarrow{{F}_{1}C}$，$\overrightarrow{{F}_{1}B}$∥$\overrightarrow{{F}_{1}D}$，$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=0，求|$\overrightarrow{AC}$|+|$\overrightarrow{BD}$|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当P为椭圆上下顶点时，△PF₁F₂内切圆面积取得最大值，设△PF₁F₂内切圆半径为r，利用${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}|{F}_{1}{F}_{2}|•b$=bc=$\frac{1}{2}（|{F}_{1}{F}_{2}|+|P{F}_{1}|+|P{F}_{2}|）$r，化为$bc=\frac{2\sqrt{3}}{3}（a+c）$，又$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，a²=b²+c²，联立解得a，c，b即可得出．
（2）由满足$\overrightarrow{{F}_{1}A}$∥$\overrightarrow{{F}_{1}C}$，$\overrightarrow{{F}_{1}B}$∥$\overrightarrow{{F}_{1}D}$，$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=0，可得直线AC，BD垂直相交于点F₁，由（1）椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$，F₁（-2，0）．
①直线AC，BD有一条斜率不存在时，|$\overrightarrow{AC}$|+|$\overrightarrow{BD}$|=14．
②当AC斜率存在且不为0时，设方程y=k（x+2），A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），与椭圆方程联立化为（3+4k²）x²+16k²x+16k²-48=0．利用根与系数的关系可得：$|\overrightarrow{AC}|$=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\frac{24（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$，把-$\frac{1}{k}$代入上述可得：可得$|\overrightarrow{BD}|$=$\frac{24（1+{k}^{2}）}{4+3{k}^{2}}$，可得|$\overrightarrow{AC}$|+|$\overrightarrow{BD}$|=$\frac{168（{k}^{2}+1）^{2}}{（4+3{k}^{2}）（3+4{k}^{2}）}$，设t=k²+1（k≠0），t＞1．即可得出．

解答 解：（1）设△PF₁F₂内切圆半径为r，
由△PF₁F₂的面积为S=$\frac{1}{2}$r（PF₁+PF₂+F₁F₂）=$\frac{1}{2}$r（2a+2c），
S最大，则r最大，
当P为椭圆上下顶点时，△PF₁F₂的面积最大，其内切圆面积取得最大值，
∵$\frac{4π}{3}=π{r}^{2}$，∴$r=\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}|{F}_{1}{F}_{2}|•b$=bc=$\frac{1}{2}（|{F}_{1}{F}_{2}|+|P{F}_{1}|+|P{F}_{2}|）$r=$\frac{1}{2}（2c+2a）×\frac{2\sqrt{3}}{3}$，化为$bc=\frac{2\sqrt{3}}{3}（a+c）$，
又$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，a²=b²+c²，联立解得a=4，c=2，b=2$\sqrt{3}$．
（2）∵满足$\overrightarrow{{F}_{1}A}$∥$\overrightarrow{{F}_{1}C}$，$\overrightarrow{{F}_{1}B}$∥$\overrightarrow{{F}_{1}D}$，$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=0，
∴直线AC，BD垂直相交于点F₁，
由（1）椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$，F₁（-2，0）．
①直线AC，BD有一条斜率不存在时，|$\overrightarrow{AC}$|+|$\overrightarrow{BD}$|=6+8=14．
②当AC斜率存在且不为0时，设方程y=k（x+2），A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$，化为（3+4k²）x²+16k²x+16k²-48=0．
∴x₁+x₂=$\frac{-16{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{16{k}^{2}-48}{3+4{k}^{2}}$，
∴$|\overrightarrow{AC}|$=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\frac{24（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$，
把-$\frac{1}{k}$代入上述可得：可得$|\overrightarrow{BD}|$=$\frac{24（1+{k}^{2}）}{4+3{k}^{2}}$，
∴|$\overrightarrow{AC}$|+|$\overrightarrow{BD}$|=$\frac{168（{k}^{2}+1）^{2}}{（4+3{k}^{2}）（3+4{k}^{2}）}$，
设t=k²+1（k≠0），t＞1．
∴|$\overrightarrow{AC}$|+|$\overrightarrow{BD}$|=$\frac{168}{12+\frac{t-1}{{t}^{2}}}$，∵t＞1，∴$0＜\frac{t-1}{{t}^{2}}≤\frac{1}{4}$，
∴|$\overrightarrow{AC}$|+|$\overrightarrow{BD}$|∈$[\frac{96}{7}，14）$．
综上可得：|$\overrightarrow{AC}$|+|$\overrightarrow{BD}$|的取值范围是$[\frac{96}{7}，14]$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交转化为方程联立可得根与系数关系、向量垂直与数量积的关系、三角形内切圆的性质、二次函数的性质，考查了“换元法”、推理能力与计算能力，属于难题．