Question

8．设x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x≤0}\\{y≤0}\\{\frac{x}{3a}+\frac{y}{4a}≤1（a＜0）}\end{array}\right.$，若z=$\frac{y-1}{x-1}$的最小值为（x²-$\frac{1}{{x}^{3}}$）⁵的展开式的常数项的$\frac{1}{40}$，则实数a值为-1．

Answer 1

分析 根据二项展开式的内容，求出常数项，即目标函数的最小值，利用线性规划的知识进行求解．

解答 解：（x²-$\frac{1}{{x}^{3}}$）⁵的展开式的通项公式为${T}_{k+1}={C}_{5}^{k}（{x}^{2}）^{5-k}•（-\frac{1}{{x}^{3}}）^{k}$=${C}_{5}^{k}（-1）^{k}$•x^10-2k-3k，
由10-2k-3k=0解得k=2，
即展开式的常数项为${C}_{5}^{2}（-1）^{2}$=10．
则z=$\frac{y-1}{x-1}$的最小值为10×$\frac{1}{40}$=$\frac{1}{4}$，
作出不等式组对应的平面区域由图象知，
到A（3a，0）到定点E（1，1）的斜率最小，
此时k=$\frac{-1}{3a-1}=\frac{1}{4}$，
即3a-1=-4，3a=-3，
解得a=-1，
故答案为：-1

点评 本题主要考查线性规划的应用，根据二项式定理的内容求出目标函数的最小值，以及结合数形结合，利用两点的斜率公式是解决本题的关键．综合性较强．