Question

19．在平面直角坐标系中，定义d（P、Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|为P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）两点之间的“折线距离”．则直线$\frac{x}{4}$+$\frac{y}{3}$=1上的一点Q与抛物线x²=-8y上的一点P之间的“折线距离”的最小值为$\frac{15}{8}$．

Answer 1

分析 先固定点P，从而可推出d（P、Q）的最小值为|y₁-y₂|，再求点P到直线$\frac{x}{4}$+$\frac{y}{3}$=1上的距离的最小值，从而求得．

解答 解：先固定点P，
如图，d（P、Q）=PG+GQ，d（P、Q₁）=PG+GQ₁；
而直线方程为$\frac{x}{4}$+$\frac{y}{3}$=1，
故GQ＞GQ₁，
故d（P、Q）的最小值为d（P、Q₁）=|y₁-y₂|，
再使点P在抛物线x²=-8y上运动，
点P到直线$\frac{x}{4}$+$\frac{y}{3}$=1上的距离的最小值为$\frac{3}{2}$；
故$\frac{3}{2}$×$\frac{5}{4}$=$\frac{15}{8}$；
故答案为：$\frac{15}{8}$．

点评 本题考查了学生对新定义的接受能力与应用能力，同时考查了数形结合的思想应用，属于中档题．