Question

9．已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2，x∈[0，1）}\\{2-{x}^{2}，x∈[-1，0）}\end{array}\right.$且f（x+2）=f（x），g（x）=$\frac{2x+5}{x+2}$，则方程f（x）=g（x）在区间[-5，1]上的所有实根之和为（　　）

• A． -7
• B． -8
• C． -9
• D． -10

Answer 1

分析 化简g（x）的表达式，得到g（x）的图象关于点（-2，1）对称，由f（x）的周期性，画出f（x），g（x）的图象，通过图象观察[-5，1]上的交点的横坐标的特点，求出它们的和．

解答 解：由题意知g（x）=$\frac{2x+5}{x+2}$，且函数f（x）的周期为2，
则函数f（x），g（x）在区间[-5，1]上的图象如下图所示：
由图形可知函数f（x），g（x）在区间[-5，1]上的交点为A，B，C，易知点B的横坐标为-3，
若设C的横坐标为t（0＜t＜1），则点A的横坐标为-4-t，
所以方程f（x）=g（x）在区间[-5，1]上的所有实数根之和为-3+（-4-t）+t=-7，
故选：A．

点评 本题考查分段函数的图象和运用，考查函数的周期性、对称性和应用，同时考查数形结合的能力，属于中档题．