Question

14．已知数列{a_n+1+a_n}的前n项和S_n=2ⁿ⁺¹-2，a₁=0．
（1）求数列{a_n+1+a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）根据数列项和前n项和之间的关系即可求数列{a_n+1+a_n}的通项公式；
（2）根据数列{a_n+1+a_n}的通项公式，结合等比数列的通项公式即可求数列{a_n}的通项公式．

解答 解：（1）∵数列{a_n+1+a_n}的前n项和S_n=2ⁿ⁺¹-2，a₁=0．
∴当n≥2时，a_n+1+a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ⁺¹-2-（2ⁿ-2）=2ⁿ．
当n=1时，a₂+a₁=S₁=2，满足a_n+1+a_n=2ⁿ．
即数列{a_n+1+a_n}的通项公式为a_n+1+a_n=2ⁿ．
（2）由a_n+1+a_n=2ⁿ．
得a_n+2+a_n+1=2ⁿ⁺¹．
两式相减得a_n+2-a_n=2ⁿ⁺¹-2ⁿ=2ⁿ．
当n为奇数时，a_n=a₁+（a₃-a₁）+（a₅-a₃）+…+（a_n-2-a_n-4）+（a_n-a_n-2）
=0+2¹+2³+…+2^n-4+2^n-2=$\frac{2-{2}^{n-2}•{2}^{2}}{1-{2}^{2}}$=$\frac{{2}^{n}}{3}$-$\frac{2}{3}$．
当n为偶数时，由a₁=0得a₂=2，
a_n=a₂+（a₄-a₂）+（a₆-a₄）+…+（a_n-2-a_n-4）+（a_n-a_n-2）
=2+2²+2⁴+…+2^n-4+2^n-2=2+$\frac{{2}^{2}-{2}^{n-2}•{2}^{2}}{1-{2}^{2}}$=$\frac{{2}^{n}}{3}$+$\frac{2}{3}$．
综上a_n=$\frac{{2}^{n}}{3}$+（-1）ⁿ•$\frac{2}{3}$．

点评 本题主要考查数列通项公式的求解，以及数列递推关系的应用，考查学生的推理能力．