Question

10．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a²+b²=4a+2b-5，且a²=b²+c²-bc，则S_△ABC=$\frac{{\sqrt{39}+\sqrt{3}}}{8}$．

Answer 1

分析 由a²=b²+c²-bc，利用余弦定理可得：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，可得A．由a²+b²=4a+2b-5，可得（a-2）²+（b-1）²=0，解得a，b．利用余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，解得c，利用三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：由a²=b²+c²-bc，
利用余弦定理可得：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∵θ∈（0，π），∴$A=\frac{π}{3}$．
∵a²+b²=4a+2b-5，
∴（a-2）²+（b-1）²=0，
解得a=2，b=1．
由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，
∴4=1+c²-c，
∴c²-c-3=0，
解得c=$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}×1×\frac{1+\sqrt{13}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{{\sqrt{39}+\sqrt{3}}}{8}$，
故答案为：$\frac{{\sqrt{39}+\sqrt{3}}}{8}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理的应用、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．