Question

2．已知函数f（x）满足：①定义域为R；②对任意x∈R，有f（x+2）=2f（x）；③当x∈[-1，1]时，f（x）=$\sqrt{1-{x}^{2}}$．若函数g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}（x≤0）}\\{lnx（x＞0）}\end{array}\right.$，则函数f（x）-g（x）在区间[-5，5]上的零点个数是10．

Answer 1

分析 根据条件关系，求出函数f（x）的表达式，作出f（x）与g（x）的图象，利用数形结合判定两个函数图象的交点即可的结论．

解答 解：∵对任意x∈R，有f（x+2）=2f（x）；
若x∈[1，3]，则x-2∈[-1，1]，此时f（x）=2f（x-2）=2$\sqrt{1-（x-2）^{2}}$，
当x∈[3，5]，则x-2∈[1，3]，此时f（x）=2f（x-2）=2$\sqrt{1-（x-4）^{2}}$，
当x∈[-3，-1]，则x+2∈[-1，1]，此时f（x）=$\frac{1}{2}$f（x+2）=$\frac{1}{2}$$\sqrt{1-（x+2）^{2}}$，
当x∈[-5，-3]，则x+2∈[-3，-1]，此时f（x）=$\frac{1}{2}$f（x+2）=$\frac{1}{2}$$\sqrt{1-（x+4）^{2}}$，
作出函数f（x）与g（x）的图象，
由图象可知，两个图象有10个交点，
即函数y=f（x）-g（x）在区间[-5，5]上零点的个数是10个，
故答案为：10

点评 此题考查了函数与方程的知识，考查了转化与化归和数形结合的数学思想，由函数的三条基本性质进行分解，从而确定出函数f（x）在[-5，5]上的分段函数解析式，作出函数图象是本题的突破点．难度较大．