Question

3．如图直角三角形ABC中，|CA|=|CB|，|AB|=3，点E、F分别在CA、CB上，且EF∥AB，AE=$\sqrt{2}$，则$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BE}$=（　　）

• A． 3
• B． -3
• C． 0
• D． -7

Answer 1

分析 由题意求得|CA|=|CB|=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{BA}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$，可得$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BE}$=-${\overrightarrow{AB}}^{2}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$+$\frac{4}{9}$$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AC}$．再求得$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AC}$、AB²、$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$、$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$的值，从而得到$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BE}$的值．

解答 解：∵Rt△ABC中，|CA|=|CB|，|AB|=3，
∴|CA|²+|CB|²=|AB|²=9，可得|CA|²=|CB|²=$\frac{9}{2}$，|CA|=|CB|=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
而AC上的点E满足|AE|=$\frac{2}{3}$|AC|．
又∵点E、F分别在CA、CB上，EF∥AB，
∴$\frac{|AE|}{|AC|}$=$\frac{|BF|}{|BC|}$=$\frac{2}{3}$，可得$\overrightarrow{BF}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{BC}$，
由此可得$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BF}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{BC}$，同理可得$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{BA}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$．
∴$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BE}$=（$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{BC}$ ）•（ $\overrightarrow{BA}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$）=-${\overrightarrow{AB}}^{2}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$+$\frac{4}{9}$$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AC}$．
∵BC⊥AC，∠CAB=∠CBA=$\frac{π}{4}$，|AB|=3，|CA|=|CB|=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AC}$=0，AB²=9，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=3•$\frac{3\sqrt{2}}{2}$cos$\frac{π}{4}$=$\frac{9}{2}$，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$=3•$\frac{3\sqrt{2}}{2}$•cos135°=-$\frac{9}{2}$，
∴$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BE}$=-9+$\frac{2}{3}$•$\frac{9}{2}$-$\frac{2}{3}$•（-$\frac{9}{2}$）+0=×0=-3，
故选：B．

点评 本题在等腰直角三角形中求向量的数量积，着重考查了等腰直角三角形的性质、向量的线性运算性质、向量的数量积及其运算性质等知识，属于中档题．