Question

18．如图，△ACB，△ADC都为等腰直角三角形，M、O为AB、AC的中点，且平面ADC⊥平面ACB，AB=4，AC=2$\sqrt{2}$，AD=2．
（1）求证：BC⊥平面ACD；
（2）求二面角A-CD-M的余弦角；
（3）若E为BD上一点，满足OE⊥BD，求直线ME与平面CDM所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取AC中点O，连结DO，利用线面垂直的判定定理即得结论；
（2）分别以OA、OM、OD为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则所求值即为平面CDM的法向量与平面ACD的法向量的夹角的余弦值的绝对值；
（3）设$\overrightarrow{DE}=λ\overrightarrow{DB}$，（0≤λ≤1），利用向量的加法法则及线段垂直的向量表示可得$\overrightarrow{ME}$，利用向量数量积运算计算即可．

解答 （1）证明：∵AB=4，AC=2$\sqrt{2}$，AD=2，
∴AC⊥BC，AD⊥DC，
则取AC中点O，连结DO，则DO⊥AC，
∵平面ADC⊥平面ACB，DO?平面ADC，
∴DO⊥平面ACB，∴DO⊥BC，
∵AC⊥BC，AC∩OD=O，
∴BC⊥平面ACD；
（2）解：分别以OA、OM、OD为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图，
则A（$\sqrt{2}$，0，0），B（-$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$，0），M（0，$\sqrt{2}$，0），C（-$\sqrt{2}$，0，0），
D（0，0，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{CM}$=（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{CD}$=（$\sqrt{2}$，0，$\sqrt{2}$），
设平面CDM的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CM}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CD}=0}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2}x+\sqrt{2}y=0}\\{\sqrt{2}x+\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$，
令x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，-1，-1），
又平面ACD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴二面角A-CD-M的余弦角为$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（3）解：由E点在棱BD上，设$\overrightarrow{DE}=λ\overrightarrow{DB}$，（0≤λ≤1），
故$\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DE}$=（0，0，$\sqrt{2}$）+λ（-$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$）=（-$\sqrt{2}$λ，2$\sqrt{2}$λ，（1-λ）$\sqrt{2}$），
由OE⊥BD，得$\overrightarrow{OE}•\overrightarrow{BD}=0$，即2λ+8λ-2（1-λ）=0，解得$λ=\frac{1}{6}$，
∴$\overrightarrow{DE}$=$\frac{1}{6}$（-$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$），
$\overrightarrow{ME}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DE}$=（0，-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）+$\frac{1}{6}$（-$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$）=$\frac{1}{6}$（-$\sqrt{2}$，-4$\sqrt{2}$，5$\sqrt{2}$），
平面CDM的法向量为$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-1），
设直线ME与平面CDM所成的角为θ，
∴sinθ=$|cos＜\overrightarrow{ME}，\overrightarrow{n}＞|$=$|\frac{\overrightarrow{ME}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{ME}||\overrightarrow{n}|}|$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{3}}{\sqrt{3}•\frac{\sqrt{21}}{3}}$=$\frac{\sqrt{14}}{21}$．

点评 本题考查线面垂直的判定定理，求二面角及线面角，注意解题方法的积累，属于中档题．