Question

11．求函数y=$\frac{a（{x}^{2}+3）+x+1}{x+1}$（x＞-1）的最值．

Answer 1

分析 化简y=$\frac{a（{x}^{2}+3）+x+1}{x+1}$=a$\frac{{x}^{2}+3}{x+1}$+1，再令f（x）=$\frac{{x}^{2}+3}{x+1}$=（x+1）+$\frac{4}{x+1}$-2；从而由基本不等式可确定f（x）≥2；再讨论a的正负以确定最值．

解答 解：∵y=$\frac{a（{x}^{2}+3）+x+1}{x+1}$=a$\frac{{x}^{2}+3}{x+1}$+1，
∴令f（x）=$\frac{{x}^{2}+3}{x+1}$=（x+1）+$\frac{4}{x+1}$-2；
∵x+1＞0，
∴（x+1）+$\frac{4}{x+1}$≥4，
（当且仅当x+1=$\frac{4}{x+1}$时，等号成立）；
故f（x）≥2；
故当a＞0时，y=$\frac{a（{x}^{2}+3）+x+1}{x+1}$=a$\frac{{x}^{2}+3}{x+1}$+1有最小值2a+1；
当a＜0时，y=$\frac{a（{x}^{2}+3）+x+1}{x+1}$=a$\frac{{x}^{2}+3}{x+1}$+1有最大值2a+1．

点评 本题考查了函数的化简与基本不等式的应用，同时考查了分类讨论的应用，属于中档题．