Question

4．已知抛物线E：x²=4y，m，n是经过点A（a，-1）且倾斜角互补的两条直线，其中m与E有唯一公共点B，n与E相交于不同的两点C，D
（Ⅰ）求m的斜率k的取值范围；
（Ⅱ）当n过E的焦点时，求B到n的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设直线m：y+1=k（x-a），n：y+1=-k（x-a），代入抛物线方程，运用判别式等于0和大于0，解不等式即可得到k的范围；
（Ⅱ）k_AF=$\frac{-2}{a}$=-k，所以ak=2，确定B的坐标，再求出B到n的距离．

解答 解：（Ⅰ）m：y+1=k（x-a），n：y+1=-k（x-a），
分别代入x²=4y，得x²-4kx+4ka+4=0①，x²+4kx-4ka+4=0②，…（2分）
由△₁=0得k²-ka-1=0，
由△₂＞0得k²+ka-1＞0，…（4分）
故有2k²-2＞0，得k²＞1，即k＜-1或k＞1． …（6分）
（Ⅱ）F（0，1），k_AF=$\frac{-2}{a}$=-k，所以ak=2． …（8分）
由△₁=0得k²=ka+1=3，
B（2k，k²），所以B到n的距离d=$\frac{|3{k}^{2}-ak+1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{|3{k}^{2}-1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=4   …（12分）

点评 本题考查抛物线的方程和性质，主要考查直线和抛物线方程联立，运用判别式，考查运算化简的能力，属于中档题．