Question

20．某乡镇为了发展旅游行业，决定加强宣传，据统计，广告支出费x与旅游收入y（单位：万元）之间有如表对应数据：

x	2	4	5	6	8
y	30	40	60	50	70

（Ⅰ）求旅游收入y对广告支出费x的线性回归方程y=bx+a，若广告支出费为12万元，预测旅游收入；
（Ⅱ）在已有的五组数据中任意抽取两组，根据（Ⅰ）中的线性回归方程，求至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值不超过5的概率．
参考公式：b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{xy}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n\stackrel{-2}{x}}$，a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$，其中$\overline{\;}$$\overline{x}$，$\overline{y}$为样本平均值．
参考数据：$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}^{2}$=145，$\sum_{i=1}^{5}{y}_{i}^{2}$=13500，$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}$=1380．

Answer 1

分析 （I）根据所给的数据先做出数据的平均数，即样本中心点，根据最小二乘法做出线性回归方程的系数，写出线性回归方程．把所给的广告费支出为12万元时，代入线性回归方程，可得对应的销售额．
（II）分别求出在已有的五组数据中任意抽取两组的情况总数，及至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值不超过5的情况数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．

解答 解：（Ⅰ）由题知，$\overline{x}$=5，$\overline{y}$=50，b=$\frac{1380-5×5×50}{145-5×{5}^{2}}$=6.5，a=50-6.5×5=17.5
∴y=6.5x+17.5
当x=12时，y=95.5；   …（6分）
（Ⅱ）对应的预测值分别为30.5，43.5，50，56.5，69.5，其中与实际值之差的绝对值不超过5的有3组，从五组数据中任取两组，共有10种不同的结果，其中满足“两组其预测值与实际值之差的绝对值都超过5”的有1种结果，∴P=1-$\frac{1}{10}$=$\frac{9}{10}$．…（13分）

点评 本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键．