Question

5．如图，在四棱锥E-ABCD中，AE⊥DE，CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，CD=DA=6，AB=2，DE=3．
（Ⅰ）求棱锥C-ADE的体积；
（Ⅱ）求证：平面ACE⊥平面CDE；
（Ⅲ）在线段DE上是否存在一点F，使AF∥平面BCE？若存在，求出$\frac{EF}{ED}$的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （I）在Rt△ADE中，AE=$\sqrt{A{D}^{2}-D{E}^{2}}$，可得S_△ADE=$\frac{1}{2}AE•DE$．由于CD⊥平面ADE，可得V_C-ADE=$\frac{1}{3}CD•{S}_{△ADE}$．
（II）由CD⊥平面ADE，可得CD⊥AE，进而得到AE⊥平面CDE，即可证明平面ACE⊥平面CDE；
（III）在线段DE上存在一点F，使AF∥平面BCE，$\frac{EF}{ED}$=$\frac{1}{3}$．设F为线段DE上的一点，且$\frac{EF}{ED}$=$\frac{1}{3}$．过F作FM∥CD交CE于点M，由线面垂直的性质可得：CD∥AB．可得四边形ABMF是平行四边形，于是AF∥BM，即可证明AF∥平面BCE．

解答 （I）解：在Rt△ADE中，AE=$\sqrt{A{D}^{2}-D{E}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∴S_△ADE=$\frac{1}{2}AE•DE$=$\frac{1}{2}×3\sqrt{3}×3$=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$．∵CD⊥平面ADE，∴V_C-ADE=$\frac{1}{3}CD•{S}_{△ADE}$=$\frac{1}{3}×6×\frac{9\sqrt{3}}{2}$=9$\sqrt{3}$．
（II）证明：∵CD⊥平面ADE，∴CD⊥AE，又AE⊥ED，ED∩CD=D，∴AE⊥平面CDE，又AE?平面ACE，∴平面ACE⊥平面CDE；
（III）解：在线段DE上存在一点F，使AF∥平面BCE，$\frac{EF}{ED}$=$\frac{1}{3}$．
下面给出证明：设F为线段DE上的一点，且$\frac{EF}{ED}$=$\frac{1}{3}$．
过F作FM∥CD交CE于点M，则FM=$\frac{1}{3}CD$，
∵CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，
∴CD∥AB．又CD=3AB，
∴$MF\underset{∥}{=}AB$，
∴四边形ABMF是平行四边形，
∴AF∥BM，又AF?平面BCE，BM?平面BCE．
∴AF∥平面BCE．

点评 本题考查了线面面面垂直与平行的判定与性质定理、三棱锥的体积计算公式、平行线分线段成比例定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．