Question

10．对于定义在正整数集且在正整数集上取值的函数f（x）满足f（1）≠1，且对?n∈N^*，有f（n）+f（n+1）+f（f（n））=3n+1，则f（2015）=（　　）

• A． 2014
• B． 2015
• C． 2016
• D． 2017

Answer 1

分析 由于f（1）≠1，则f（1）=2，或f（1）≥3，若f（1）≥3，则令n=1，即有f（1）+f（2）+f（f（1））=4，即为f（2）+f（f（1））≤1这与f（x）≥1矛盾．故有f（1）=2，分别令n=1，2，3，4，…，求得几个特殊的函数值，归纳得到当n为奇数时，f（n）=n+1，当n为偶数时，f（n）=n-1．检验成立，即可得到f（2015）．

解答 解：由于f（1）≠1，则f（1）=2，或f（1）≥3，
若f（1）≥3，则令n=1，即有f（1）+f（2）+f（f（1））=4，
即为f（2）+f（f（1））≤1这与f（x）≥1矛盾．
故有f（1）=2，
由f（1）+f（2）+f（f（1））=4，即2+f（2）+f（2）=4，
解得f（2）=1，
再由f（2）+f（3）+f（f（2））=7，解得f（3）=4，
再由f（3）+f（4）+f（f（3））=10，解得f（4）=3，
再由f（4）+f（5）+f（f（4））=13，解得f（5）=6，
再由f（5）+f（6）+f（f（5））=16，解得f（6）=5，
…
归纳可得，当n为奇数时，f（n）=n+1，
当n为偶数时，f（n）=n-1．
经检验，当n为奇数时，
f（n）+f（n+1）+f（f（n））=n+1+n+f（n+1）=2n+1+n=3n+1成立；
同样n为偶数时，仍然成立．
则f（2015）=2016．
故选：C．

点评 本题考查抽象函数的运用，主要考查赋值法的运用，通过几个特殊，计算得到结果再推出一般结论，再验证，是解本题的常用方法．