Question

5．设函数f（x）=ax²-lnx，其中a＞$\frac{1}{2}$．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设f（x）的最小值为g（x），证明函数y=a-g（a）没有零点．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的定义域，然后求导数，通过解不等式获得函数的增减区间，注意对a进行讨论；
（2）结合（1）的结论求出函数的最小值，然后再判断函数y=g（a）-a的零点个数．

解答 解：（1）易知函数的定义域为（0，+∞）．
f′（x）=2ax-$\frac{1}{x}$=$\frac{2a{x}^{2}-1}{x}$．令f′（x）=0得x=$±\frac{1}{\sqrt{2a}}$（负值舍去），所以x=$\frac{1}{\sqrt{2a}}$．
由f′（x）＞0得x＞$\frac{1}{\sqrt{2a}}$，由f′（x）＜0得$0＜x＜\frac{1}{\sqrt{2a}}$．
故f（x）在（0，$\frac{1}{\sqrt{2a}}$）上递减，在[$\frac{1}{\sqrt{2a}}，+∞$）上递增．
（2）由（1）可知f（x）_min=f（$\frac{1}{\sqrt{2a}}$）=$\frac{1}{2}-ln\frac{1}{\sqrt{2a}}$=$\frac{1}{2}（1+ln2a）$=g（a）．
设h（a）=a-g（a）=$a-\frac{1}{2}lna-\frac{1}{2}ln2e$．（a$＞\frac{1}{2}$）
令h$′（a）=1-\frac{1}{2a}=\frac{2a-1}{2a}$=0得a=$\frac{1}{2}$．由h′（a）＞0得a$＞\frac{1}{2}$．
所以当a$∈（\frac{1}{2}，+∞）$时，h（a）是增函数．
设h（a）在a=$\frac{1}{2}$处有定义，而h（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}ln\frac{1}{2}-\frac{1}{2}ln2e=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}ln2-\frac{1}{2}ln2-\frac{1}{2}=0$．
所以当a$＞\frac{1}{2}$时，h（a）＞0恒成立．
故函数函数y=a-g（a）没有零点．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值、以及函数的零点的方法，要注意结合图象解决问题．