Question

10．求f（x）=ax²-（2a+1）x+lnx的单调区间．

Answer 1

分析 先求函数的导数，然后构造不等式，将问题最终转化为一元二次不等式的解法，注意分类讨论．

解答 解：由已知得$f′（x）=2ax+\frac{1}{x}-（2a+1）$=$\frac{（2ax-1）（x-1）}{x}$，（x＞0）
当a=0时，$f′（x）=\frac{1-x}{x}$，此时x∈（0，1）时f′（x）＞0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0．
所以f（x）在（0，1）上递增，在[1，+∞）上递减．
当a≠0时，令f′（x）=0得x=$\frac{1}{2a}$或x=1．
当$\frac{1}{2a}＜0$，即a＜0时，易知x∈（0，1）时f′（x）＞0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0．
所以f（x）在（0，1）上递增，在[1，+∞）上递减．
当$0＜\frac{1}{2a}＜1$，即$a＞\frac{1}{2}$时，由f′（x）＞0得$0＜x＜\frac{1}{2a}$或x＞1，由f′（x）＜0得$\frac{1}{2a}＜x＜1$．
所以f（x）的增区间为$（0，\frac{1}{2a}），[1，+∞）$，减区间为[$\frac{1}{2a}，1$）．
当$\frac{1}{2a}=1$即a=$\frac{1}{2}$时，$f′（x）=\frac{（x-1）^{2}}{x}＞0$恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上递增．
当$\frac{1}{2a}＞1$，即$0＜a＜\frac{1}{2}$时，由f′（x）＞0得0＜x＜1或$x＞\frac{1}{2a}$，由f′（x）＜0得$1＜x＜\frac{1}{2a}$，
故函数f（x）的增区间为（0，1），$[\frac{1}{2a}，+∞）$，减区间为$[1，\frac{1}{2a}）$．

点评 本题考查了利用导数研究函数单调性的方法，以及二次不等式的解法，注意分类讨论思想的应用．