Question

19．已知定义域为（0，+∞）的单调函数f（x）满足：?x∈（0，+∞），f（f（x）-log₂x）=3，则函数g（x）=f（x）-sin2πx-2的零点的个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由条件求得f（x）=2+log₂x，本题即求数y=f（x）的图象和函数y=sin2πx+2的图象的交点个数，数形结合可得结论．

解答 解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-log₂x]=3，
又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，则f（x）-log₂x为定值．
设t=f（x）-log₂x，则f（x）=t+log₂x，
又由f（t）=3，可得t+log₂t=3，可解得t=2，故f（x）=2+log₂x．
函数g（x）=f（x）-sin2πx-2的零点的个数，
即函数y=f（x）的图象（图中绿色曲线）和函数y=sin2πx+2的图象（图中红色曲线）的交点个数，
如图所示：
由于函数y=f（x）的图象（图中绿色曲线）和函数y=sin2πx+2的图象（图中红色曲线）的交点个数为3，
故选：C．

点评 本题主要考查方程根的存在性以及个数判断，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．