Question

9．如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=45°，DC=2，AB=4，PA⊥平面ABCD，PA=2．
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）若M是PC的中点，求点C到平面MAD的距离．

Answer 1

分析 （1）在直角梯形ABCD中，过C作CE⊥AB于点E，由已知中DC=1，AB=2，我们根据勾股定理可得BC⊥AC，由PA⊥平面ABCD可得PA⊥BC，结合线面垂直的判定定理即可得到BC⊥平面PAC；
（2）若M是PC的中点，则M到面ADC的距离是P到面ADC距离，即PA的一半，根据其它已知条件计算出棱锥的底面积和高，代入棱锥体积公式，即可得到点C到平面MAD的距离．

解答 （1）证明：在直角梯形ABCD中，过C作CE⊥AB于点E，则四边形ADCE为矩形，
∴AE=DC=1
又AB=2，∴BE=1
在Rt△BEC中，∠ABC=45°
∴CE=BE=1，CB=$\sqrt{2}$
∴AD=CE=1
则AC=$\sqrt{2}$，AC²+BC²=AB²
∴BC⊥AC
又PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BC．又由PA∩AC=A
∴BC⊥平面PAC；
（2）解：∵M是PC中点，
∴M到面ADC的距离是P到面ADC距离的一半，为1，
△MAD中，AM=DM=$\frac{1}{2}$PC=$\sqrt{3}$，AD=2，∴S_△AMD=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$，
设点C到平面MAD的距离为h，则由等体积可得$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×1=\frac{1}{3}×\sqrt{2}h$
∴h=$\sqrt{2}$．

点评 本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，以及几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力，考查了数形结合思想、化归转化思想、必然与或然思想；属于中档题．