Question

20．某公司对员工进行身体素质综合测试，测试成绩分为优秀、良好、合格三个等级，测试结果如表：（单位：人）

	优秀	良好	合格
男	180	70	20
女	120	a	30

按优秀、良好、合格三个等级分层，从中抽取50人，其中成绩为优的有30人．
（1）求a的值；
（2）若用分层抽样的方法，在合格的同学中按男女抽取一个容量为5的样本，从中任选2人，记X为抽取女生的人数，求X的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （1）利用分层抽样的计算公式即可得出，进而求出a的值；
（2）由题意，X所有取值0，1，2．在合格的同学中按男女抽取一个容量为5的样本，则抽取的男生数=2，抽取的女生数=5-2=3．根据古典概型的概率计算公式分别计算出概率，即可得到分布列及数学期望．

解答 解：（1）设该公司共n人，
由题意得，$\frac{50}{n}=\frac{30}{180+120}$，
解得，n=500；
则a=500-（180+120+70+20+30）=80；
（2）X的所有取值为0，1，2，则
在合格的同学中按男女抽取一个容量为5的样本，则抽取的男生数=2，抽取的女生数=5-2=3．
P（X=0）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{1}{10}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{3}{5}$，P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{3}{10}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2
P	$\frac{1}{10}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{3}{10}$

EX=0×$\frac{1}{10}$+1×$\frac{3}{5}$+2×$\frac{3}{10}$=$\frac{6}{5}$．

点评 本题考查了分层抽样的应用及古典概型概率的求法，熟练掌握分层抽样的意义及其计算公式、古典概型的概率计算公式、随机变量的分布列及其数学期望是解题的关键．