Question

15．假定某篮球运动员每次投篮命中率均为P（0＜P＜1）．现有3次投篮机会，并规定连续两次投篮均不中即终止投篮．已知该运动员不放弃任何一次投篮机会，且恰用完3次投篮机会的概率是$\frac{21}{25}$
（1）求P的值；
（2）设该运动员投篮命中次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望E（ξ）

Answer 1

分析 （1）利用对立事件，结合恰用完3次投篮机会的概率是$\frac{21}{25}$，求P的值；
（2）ξ的可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率，即可求ξ的概率分布及数学期望E（ξ）．

解答 解：（1）设事件A：“恰用完3次投篮机会”，则其对立事件A：“前两次投篮均不中”
由题意，P（A）=1-（1-p）²=$\frac{21}{25}$，
∴p=$\frac{3}{5}$；
（2）ξ的可能取值为0，1，2，3，则
P（ξ=0）=（1-p）²=$\frac{4}{25}$，P（ξ=1）=p（1-p）²+（1-p）p（1-p）=$\frac{24}{125}$，
P（ξ=3）=p³=$\frac{27}{125}$
P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）=$\frac{54}{125}$，
∴ξ的概率分列为

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{4}{25}$	$\frac{24}{125}$	$\frac{27}{125}$	$\frac{54}{125}$

数学期望E（ξ）=0×$\frac{4}{25}$+1×$\frac{24}{125}$+2×$\frac{27}{125}$+3×$\frac{54}{125}$=$\frac{213}{125}$．

点评 本题考查随机变量的分布列与数学期望，明确变量的含义，求出概率是解题的关键．