Question

3．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB=AD=$\frac{1}{2}$CD=1，现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面BDE；
（Ⅱ）求点D到平面BEC的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）欲证BC⊥平面BDE，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BC与平面BDE内两相交直线垂直，根据面面垂直的性质可知ED⊥平面ABCD，则ED⊥BC，根据勾股定理可知BC⊥BD，满足定理所需条件；
（Ⅱ）过点D作EB的垂线交EB于点G，则DG⊥平面BEC，从而点D到平面BEC的距离等于线段DG的长度，在直角三角形BDE中，利用等面积法即可求出DG，从而求出点D到平面BEC的距离．

解答 （Ⅰ）证明：在正方形ADEF中，ED⊥AD．
又因为平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD，
所以ED⊥平面ABCD．
所以ED⊥BC．
在直角梯形ABCD中，AB=AD=1，CD=2，可得BC=$\sqrt{2}$．
在△BCD中，BD=BC=$\sqrt{2}$，CD=2，
所以BD²+BC²=CD²．
所以BC⊥BD．
所以BC⊥平面BDE．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，BC⊥平面BDE
又因为BC?平面BCE，所以平面BDE⊥平面BEC．
过点D作EB的垂线交EB于点G，则DG⊥平面BEC
所以点D到平面BEC的距离等于线段DG的长度
在直角三角形BDE中，S_△BDE=$\frac{1}{2}BD•DE$=$\frac{1}{2}BE•DG$
所以DG=$\frac{BD•DE}{BE}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$
所以点D到平面BEC的距离等于$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题主要考查了线面垂直的判定和点到面的距离的度量等有关知识，同时考查了空间想象能力、转化与划归的思想，属于综合题．