Question

16．求（$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{x}$+$\sqrt{2}$）⁵展开式的常数项．

Answer 1

分析 展开式的常数项有3种构成：（1）5个括号都出$\sqrt{2}$，（2）5个括号中有2个出$\frac{x}{2}$，2个出$\frac{1}{x}$，1个出$\sqrt{2}$，（3）5个括号中有1个出$\frac{x}{2}$，1个出$\frac{1}{x}$，3个出$\sqrt{2}$，计算各自结果相加可得．

解答 解：由题意可知展开式的常数项有3种构成，
（1）5个括号都出$\sqrt{2}$，结果为（$\sqrt{2}$）⁵=4$\sqrt{2}$；
（2）5个括号中有2个出$\frac{x}{2}$，2个出$\frac{1}{x}$，1个出$\sqrt{2}$，
结果为${C}_{5}^{2}{×C}_{3}^{2}×\sqrt{2}$×$（\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{15\sqrt{2}}{2}$；
（3）5个括号中有1个出$\frac{x}{2}$，1个出$\frac{1}{x}$，3个出$\sqrt{2}$，
结果为${C}_{5}^{1}×{C}_{4}^{1}×（\sqrt{2}）^{3}$×$\frac{1}{2}$=20$\sqrt{2}$，
综合可得常数项为4$\sqrt{2}$+$\frac{15\sqrt{2}}{2}$+20$\sqrt{2}$=$\frac{63\sqrt{2}}{2}$

点评 本题考查二项式定理的应用，涉及分类讨论的思想，属中档题．