Question

4．已知函数f（x）=3x-x³，则函数y=f[f（x）]-1的零点个数为（　　）

• A． 3
• B． 5
• C． 7
• D． 9

Answer 1

分析 利用换元法设t=f（x），求函数的导数判断函数的单调性和极值，结合数形结合即可得到结论．

解答 解：设t=f（x），则由y=f[f（x）]-1=0
得f[f（x）]=1，
即f（t）=1，t=f（x），
函数f（x）的导数f′（x）=3-3x²，
由f′（x）＞0得-1＜x＜1，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0得x＜-1或x＞1，此时函数单调递减，
即函数在x=1，取得极大值f（1）=3-1=2，
函数在x=-1，取得极小值f（-1）=-3+1=-2，
若f（t）=1，则方程有三个解，满足-2＜t₁＜-1，
0＜t₂＜1，1＜t₃＜2，
则当-2＜t₁＜-1时，方程t=f（x），有3个根，
当0＜t₂＜1时，方程t=f（x），有3个根，
当1＜t₃＜2时，方程t=f（x），有3个根，
则共有9个根，
故选：D

点评 本题主要考查函数方程的应用，利用换元法，结合数形结合是解决本题的关键．