Question

14．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）两焦点分别为F₁、F₂，过F₁的直线交椭圆于P、Q两点，若|PF₂|=|F₁F₂|，且2|PF₁|=3|QF₁|，求椭圆离心率．

Answer 1

分析 如图所示，由|PF₂|=|F₁F₂|，2|PF₁|=3|QF₁|，利用椭圆的定义可得：|PF₁|=2a-2c，|QF₁|=$\frac{4（a-c）}{3}$，|QF₂|=$\frac{2a+4c}{3}$．在等腰△PF₁F₂中，可得cos∠PF₁F₂=$\frac{a-c}{2c}$．在△QF₁F₂中，由余弦定理可得：cos∠QF₁F₂，利用cos∠PF₁F₂+cos∠QF₁F₂=0，及其离心率计算公式即可得出．

解答 解：如图所示，
∵|PF₂|=|F₁F₂|，
∴|PF₂|=2c，|PF₁|=2a-2c．
∵2|PF₁|=3|QF₁|，
∴|QF₁|=$\frac{4（a-c）}{3}$，
∴|QF₂|=$\frac{2a+4c}{3}$．
在等腰△PF₁F₂中，可得cos∠PF₁F₂=$\frac{\frac{1}{2}|P{F}_{1}|}{|{F}_{1}{F}_{2}|}$=$\frac{a-c}{2c}$．
在△QF₁F₂中，由余弦定理可得：cos∠QF₁F₂=$\frac{（2c）^{2}+\frac{16（a-c）^{2}}{9}-\frac{（2a+4c）^{2}}{9}}{2×2c×\frac{4（a-c）}{3}}$，
∵cos∠PF₁F₂+cos∠QF₁F₂=0，
∴5e²-8e+3=0，又0＜e＜1，
解得e=$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、余弦定理、等腰三角形与直角三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题