Question

19．如图，在几何体NABCD中，CD⊥ABC．DC∥AN，CD=2AN=4，又AB=AC=BC=2，点M是BD上的动点（与B，D不重合）
（1）若M为BD的中点，求证：AM⊥BC；
（2）当直线MN与平面ACDN所成角为30°时，求二面角B-MC-A的正切值．

Answer 1

分析 （1）取BC的中点E，连结AE、AM、MC，利用中位线定理及线面平面的判定定理即得结论；
（2）以C为原点，建立空间直角坐标系，通过点M是BD上的动点，可得M（1-t，$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t，4t），利用直线MN与平面ACDN所成角为30°可得$\overrightarrow{CM}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，2），则二面角B-MC-A的余弦值即为平面BMC的法向量与平面MCA的法向量的夹角的余弦值的绝对值，利用平方关系可知所求角的正弦值，进而可得结论．

解答 （1）证明：取BC的中点E，连结AE、AM、MC，
∵CD⊥平面ABC，DC∥AN，
∴AN⊥平面ABC，∴AN⊥BC，
又∵M为BD的中点，
∴ME∥CD∥AN，即ME⊥BC，
∵AB=AC=BC，E为BC中点，
∴AE⊥BC，
∴BC⊥平面AEM，
∴AM⊥BC；
（2）解：以C为原点，建立空间直角坐标系如图，
∵CD=2AN=4，又AB=AC=BC=2，
∴C（0，0，0），A（2，0，0），B（1，$\sqrt{3}$，0），
D（0，0，4），N（2，0，2），
则$\overrightarrow{CB}$=（1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{CA}$=A（2，0，0），$\overrightarrow{BD}$=（-1，-$\sqrt{3}$，4），
设t$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{BM}$，则M（1-t，$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t，4t），
∴$\overrightarrow{NM}$=（-1-t，$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t，4t-2），$\overrightarrow{CM}$=（1-t，$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t，4t），
∵直线MN与平面ACDN所成角为30°，
$\overrightarrow{m}$=（0，1，0）为平面ACDN的一个法向量，
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{NM}＞$=$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{3}t}{\sqrt{（1+t）^{2}+（\sqrt{3}-\sqrt{3}t）^{2}+（4t-2）^{2}}}$=cos60°，
解得t=$\frac{1}{2}$，即$\overrightarrow{CM}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，2），
设平面BMC的法向量为$\overrightarrow{p}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{CB}=0}\\{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{CM}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x+\sqrt{3}y=0}\\{\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y+2z=0}\end{array}\right.$，
取y=-1，得$\overrightarrow{p}$=（$\sqrt{3}$，-1，0），
设平面MCA的法向量为$\overrightarrow{q}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{q}•\overrightarrow{CM}=0}\\{\overrightarrow{q}•\overrightarrow{CA}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y+2z=0}\\{2x=0}\end{array}\right.$，
取y=4，得$\overrightarrow{q}$=（0，4，-$\sqrt{3}$），
∴$cos＜\overrightarrow{p}，\overline{q}＞$=$\frac{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{q}}{|\overrightarrow{p}||\overrightarrow{q}|}$=$\frac{-4}{2×\sqrt{19}}$=-$\frac{2\sqrt{19}}{19}$，
∴二面角B-MC-A的余弦值为$\frac{2\sqrt{19}}{19}$，
由平方关系知其正弦值为$\sqrt{1-（\frac{2\sqrt{19}}{19}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{15×19}}{19}$，
∴二面角B-MC-A的正切值为$\frac{\frac{\sqrt{15×19}}{19}}{\frac{2\sqrt{19}}{19}}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$．

点评 本题考查线面垂直的判定定理，二面角的计算，数量积的运算，平方关系，注意解题方法的积累，属于难题．