Question

12．已知在平面直角坐标系xOy中，过点（1，0）的直线l与直线x-y+1=0垂直，且l与圆C：x²+y²=-2y+3交于A、B两点，则△OAB的面积为2．

Answer 1

分析 圆C：x²+y²=-2y+3化为x²+（y+1）²=4，由过点（1，0）的直线l与直线x-y+1=0垂直，可得直线l的方程为：x+y-1=0．利用点到直线的距离公式可得：圆心C（0，-1）到直线l的距离d．可得弦长|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$．Ly S_△OAB=$\frac{1}{2}|AB|d$j即可得出．

解答 解：圆C：x²+y²=-2y+3化为x²+（y+1）²=4，
∵过点（1，0）的直线l与直线x-y+1=0垂直，
∴直线l的方程为：x+y-1=0．
圆心C（0，-1）到直线l的距离d=$\frac{|-1-1|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$．
∴弦长|AB|=$2\sqrt{4-2}$=2$\sqrt{2}$．
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}|AB|d$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{2}$=2．
故答案为：2．

点评 本题考查了直线与圆相交弦长问题、点到直线的距离公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．