已知椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$.椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为2.直线l:y=kx+m与椭圆交与不同的两点A.B(1)求椭圆C的方程(2)若线段AB中点的横坐标为$\frac{m}{2}$.求k的值(3)若以弦AB为直径的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

11．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为2，直线l：y=kx+m（m≠0）与椭圆交与不同的两点A，B
（1）求椭圆C的方程
（2）若线段AB中点的横坐标为$\frac{m}{2}$，求k的值
（3）若以弦AB为直径的圆经过椭圆的右顶点M，则直线l是否经过定点（除右顶点外）？若经过，求出定点坐标，否则，请说明理由．

分析（1）由椭圆的离心率公式和三角形的面积公式及a，b，c的关系，计算即可得到a，b，进而得到椭圆方程；
（2）联立直线方程和椭圆方程，消去y，可得x的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，计算即可得到k；
（3）联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和圆的性质，以及垂直的条件，化简整理，结合直线恒过定点的求法，即可得到定点．

解答解：（1）由题意可得，e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，又bc=2，
a²-b²=c²，
解得a=2，b=$\sqrt{2}$，
即有椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）将y=kx+m代入椭圆方程可得，（1+2k²）x²+4kmx+2m²-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则有x₁+x₂=$\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}$，
由中点坐标公式可得$\frac{-2km}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{m}{2}$，
解得k=-1±$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（3）由（2）可得△=（4km）²-4（1+2k²）（2m²-4）＞0
整理得：4k²-m²+2＞0 ①
x₁+x₂=$\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$，
由已知，AM⊥MB，且椭圆的右顶点为M（2，0）
∴（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=0
即（1+k²）x₁x₂+（km-2）（x₁+x₂）+m²+4=0
也即（1+k²）•$\frac{2{m}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$+（km-2）•$\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}$+m²+4=0，
整理得：3m²+8mk+4k²=0，
解得：m=-2k或m=-$\frac{2}{3}$k，均满足①
当m=-2k时，直线l的方程为y=kx-2k，过定点（2，0），舍去．
当m=-$\frac{2}{3}$k时，直线l的方程为y=k（x-$\frac{2}{3}$），过定点（$\frac{2}{3}$，0），
故直线l过定点，且定点的坐标为（$\frac{2}{3}$，0）．

点评本题综合考查椭圆的性质及应用和直线与椭圆的位置关系，具有较大的运算量，解题时要注意韦达定理的灵活运用．

练习册系列答案

走进名校小学毕业升学模拟测试卷系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：高中数学 来源： 题型：解答题

3．

已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且C上任意一点到两个焦点的距离之和都为4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆交于P、Q，O为坐标原点，若∠POQ=90°，求证$\frac{1}{|PQ{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OQ{|}^{2}}$为定值．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：选择题

4．已知函数f（x）=3x-x³，则函数y=f[f（x）]-1的零点个数为（　　）

A．

B．

C．

D．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：解答题

1．今天是星期三，问2⁴⁵天后是星期几？

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：解答题

6．已知函数f（x）=x²-alnx（a∈R），g（x）=x²+（a+2）x+1
（1）求函数f（x）的单调区间
（2）若a＞0，且对任意x₁∈[-1，2]，都存在x₂∈（0，+∞），使得g（x₁）=f（x₂），求a的取值范围．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：解答题

16．某研究性学习小组对某花卉种子的发芽率与昼夜温差之间的关系进行研究．他们分别记录了3月1日至3月5日的昼夜温差及每天30颗种子的发芽数，并得到如下资料：

日期	3月1日	3月2日	3月3日	3月4日	3月5日
温差x （度）	10	11	13	12	9
发芽数y（颗）	15	16	17	14	13

参考数据$\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}=832，}\sum_{i=1}^5{x_i^2=615，}$，其中$b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x•\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2-n{{\overline x}^2}}}}；a=\overline y-b\overline x$
（1）请根据3月1日至3月5日的数据，求出y关于x的线性回归方程．据气象预报3月6日的昼夜温差为11℃，请预测3月6日浸泡的30颗种子的发芽数．（结果保留整数）
（2）从3月1日至3月5日中任选两天，记种子发芽数超过15颗的天数为X，求X的概率分布列，并求其数学期望和方差．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：解答题

3．

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB=AD=$\frac{1}{2}$CD=1，现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面BDE；
（Ⅱ）求点D到平面BEC的距离．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：解答题

20．某公司对员工进行身体素质综合测试，测试成绩分为优秀、良好、合格三个等级，测试结果如表：（单位：人）

	优秀	良好	合格
男	180	70	20
女	120	a	30

按优秀、良好、合格三个等级分层，从中抽取50人，其中成绩为优的有30人．
（1）求a的值；
（2）若用分层抽样的方法，在合格的同学中按男女抽取一个容量为5的样本，从中任选2人，记X为抽取女生的人数，求X的分布列及数学期望．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：解答题

1．已知点A、B分别为（-2，0）、（2，0），直线AP、BP相交于点P，且它们的斜率之积是-$\frac{1}{4}$，记动点P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程．

查看答案和解析>>

同步练习册答案