Question

7．已知f（x）是定义在[-4，4]上的奇函数，当x＞0时，f（x）=-x²+4x，则不等式f[f（x）]＜f（x）的解集为（　　）

• A． （-3，0）∪（3，4]
• B． （-4，-3）∪（1，2）∪（2，3）
• C． （-1，0）∪（1，2）∪（2，3）
• D． （-4，-3）∪（-1，0）∪（1，3）

Answer 1

分析 利用奇偶性求出函数f（x）在定义域[-4，4]上的解析式，结合不等式计算即可．

解答 解：∵f（x）是定义在[-4，4]上的奇函数，
∴当x=0时，f（0）=0，
下面求x∈[-4，0）时的f（x）的表达式，
设x∈[-4，0），则-x∈（0，4]，
又∵当x＞0时，f（x）=-x²+4x，
∴f（-x）=-（-x）²+4（-x）=-x²-4x，
又f（x）是定义在[-4，4]上的奇函数，
∴f（x）=-f（-x）=x²+4x，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+4x，}&{x∈[-4，0]}\\{-{x}^{2}+4x，}&{x∈（0，4]}\end{array}\right.$，
令f（x）=0，解得x=-4或0或4，
当x∈[-4，0]时，不等式f[f（x）]＜f（x），
即（x²+4x）²+4（x²+4x）＜x²+4x，
化简得（x²+4x）²+3（x²+4x）＜0，
解得x∈（-4，-3）∪（-1，0）；
当x∈（0，4]时，不等式f[f（x）]＜f（x），
即-（-x²+4x）²+4（-x²+4x）＜-x²+4x，
化简得-（-x²+4x）²+3（-x²+4x）＜0，
解得x∈（1，3）；
综上所述，x∈（-4，-3）∪（-1，0）∪（1，3），
故选：D．

点评 本题考查函数的奇偶性，解不等式，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．