Question

2．已知O为坐标原点，A、B为曲线y=$\sqrt{x}$上的两个不同点，若$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=6，则直线AB与圆x²+y²=$\frac{4}{9}$的位置关系是（　　）

• A． 相交
• B． 相离
• C． 相交或相切
• D． 相切或相离

Answer 1

分析 根据点A，B在曲线y=$\sqrt{x}$上不同两点，从而设出A，B坐标：A（${x}_{1}，\sqrt{{x}_{1}}$），$B（{x}_{2}，\sqrt{{x}_{2}}）$，而由$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=6可得到x₁x₂=4，能够写出直线AB的方程，从而求出圆心即原点到直线AB的距离和圆半径$\frac{2}{3}$比较即可判断出直线和圆的位置关系．

解答 解：设A（${x}_{1}，\sqrt{{x}_{1}}$），$B（{x}_{2}，\sqrt{{x}_{2}}）$；
∴由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=6$得：
${x}_{1}{x}_{2}+\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}=6$，设$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}=t，t＞0$，则：
t²+t-6=0，解得t=2，或t=-3（舍去）；
∴x₁x₂=4；
直线AB的斜率为k=$\frac{\sqrt{{x}_{2}}-\sqrt{{x}_{1}}}{{x}_{2}-{x}_{1}}=\frac{1}{\sqrt{{x}_{2}}+\sqrt{{x}_{1}}}$；
∴直线AB的方程为：$y-\sqrt{{x}_{2}}=\frac{1}{\sqrt{{x}_{2}}+\sqrt{{x}_{1}}}（x-{x}_{2}）$；
∴原点到该直线的距离为$\frac{|\frac{{x}_{2}}{\sqrt{{x}_{2}}+\sqrt{{x}_{1}}}-\sqrt{{x}_{2}}|}{\sqrt{（\frac{1}{\sqrt{{x}_{2}}+\sqrt{{x}_{1}}}）^{2}+1}}$=$\frac{2}{\sqrt{{x}_{1}+{x}_{2}+5}}$$＜\frac{2}{3}$；
∴直线AB与圆${x}^{2}+{y}^{2}=\frac{4}{9}$的位置关系为相交．
故选A．

点评 考查根据曲线方程设出曲线上点的坐标的方法，数量积的坐标运算，解一元二次方程，以及由两点坐标写直线方程，点到直线的距离公式，直线和圆的位置关系．