Question

17．如图，平行四边形OADB的对角线OD、AB相交于点C，线段BC上有一点M满足BC=3BM，线段CD上有一点N满足CD=3CN，设|$\overrightarrow{OA}$|=2，|$\overrightarrow{OB}$|=6，∠AOB=60°．
（1）用向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$表示向量$\overrightarrow{MN}$；
（2）求线段MN的长．

Answer 1

分析 （1）由已知线段的长度关系，把向量$\overrightarrow{OM}，\overrightarrow{ON}$用基底$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$表示，再用向量的减法法则得到$\overrightarrow{MN}$；
（2）由$|MN|=|\overrightarrow{MN}|$，$|\overrightarrow{MN}{|}^{2}=（\overrightarrow{MN}）^{2}$结合已知及平面向量的数量积运算求得答案．

解答 解：（1）设$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$．
∵BC=3BM，CD=3CN，
∴$BM=\frac{1}{3}BC$=$\frac{1}{6}BA$，$CN=\frac{1}{3}CD$，$ON=\frac{4}{3}CD=\frac{2}{3}OD$．
则$\overrightarrow{BM}=\frac{1}{6}\overrightarrow{BA}=\frac{1}{6}（\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}）=\frac{1}{6}（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）$，
∴$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BM}=\frac{1}{6}\overrightarrow{a}+\frac{5}{6}\overrightarrow{b}$，
$\overrightarrow{ON}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OD}=\frac{2}{3}（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）=\frac{2}{3}（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）$，
∴$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{a}-\frac{1}{6}\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}-\frac{1}{6}\overrightarrow{OB}$；
（2）$|MN|=|\overrightarrow{MN}|=\sqrt{（\overrightarrow{MN}）^{2}}$=$\sqrt{（\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}-\frac{1}{6}\overrightarrow{OB}）^{2}}$
=$\sqrt{\frac{1}{4}|\overrightarrow{OA}{|}^{2}-\frac{1}{6}\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}+\frac{1}{36}|\overrightarrow{OB}{|}^{2}}$
=$\sqrt{\frac{1}{4}×{2}^{2}-\frac{1}{6}×2×6×cos60°+\frac{1}{36}×{6}^{2}}$
=$\sqrt{1-1+1}=1$．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，考查了平面向量基本定理，属中档题．