Question

12．已知函数f（x）=x²+（a-4）x+3-a
（1）若f（x）在区间[0，1]上不单调，求a的取值范围；
（2）若对于任意的a∈（0，4），存在x₀∈[0，2]，使得|f（x₀）|≥t，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由二次函数f（x）=x²+（a-4）x+3-a的对称轴，并结合条件，即可得到对称轴满足的关系式，解之即得实数a的取值范围；
（2）由a的范围即可得到对称轴落在（0，2）内，得到函数在（0，2）上先减后增，分类讨论即可得到函数的最值，依据题意即可求出t的取值范围．

解答 解：函数f（x）=x²+（a-4）x+3-a的对称轴为x=-$\frac{a-4}{2}$，
（1）由于已知f（x）在区间[0，1]上不单调，
则0＜-$\frac{a-4}{2}$＜1，解得2＜a＜4，
（2）由于a∈（0，4），则x=-$\frac{a-4}{2}$∈（0，2），
故函数f（x）=x²+（a-4）x+3-a在[0，2]的最小值为$-\frac{（a-2）^{2}}{4}$∈（-1，0），
①当-$\frac{a-4}{2}$∈[1，2），即0＜a≤2时，
函数f（x）=x²+（a-4）x+3-a（x∈[0，2]）在x=0时取得最大值，
且最大值为3-a，
由于此时0＜a≤2，则1≤3-a＜3；
②当-$\frac{a-4}{2}$∈（0，1），即2＜a＜4时，
函数f（x）=x²+（a-4）x+3-a（x∈[0，2]）在x=2时取得最大值，
且最大值为2²+2（a-4）+3-a=a-1，
由于此时2＜a＜4，则1＜a-1＜3；
综上可知，函数f（x）在[0，2]上满足0≤|f（x）|＜3，
故若对于任意的a∈（0，4），存在x₀∈[0，2]，使得|f（x₀）|≥t，
则t的取值范围为{t|t≤1}．

点评 本题考查了函数的性质，不等式恒成立问题的转化，属于综合题，有一定的难度．