Question

3．为减少汽车尾气排放，提高空气质量，各地纷纷推出汽车尾号限行措施，为做好此项工作，某市交支队对市区各交通枢纽进行调查统计，表中列出了某交通路口单位时间内通过的1000辆汽车的车牌尾号记录：

组名	尾号	频数	频率
第一组	0、1、4	200	0.2
第二组	3、6	250	0.25
第三组	2、5、7	a	b
第四组	8、9	e	0.3

由于某些数据缺失，表中以英文字母作标记，请根据图表提供的信息计算：
（Ⅰ）若采用分层抽样的方法从这1000辆汽车中抽取20辆，了解驾驶员对尾号限行的建议，应分别从一、二、三、四组中各抽取多少辆？
（Ⅱ）以频率代替概率，在此路口随机抽取4辆汽车，奖励汽车用品，用ξ表示车尾号在第二组的汽车数目，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用概率和为1，求出b，通过抽样比求解a，c，然后求解从一、二、三、四组中各抽取辆数．
（Ⅱ）通过超几何分布，求出概率，得到ξ的分布列和数学期望．

解答 解（Ⅰ）根据频率定义，0.2+0.25+b+0.3=1，解得b=0.25；200：0.2=a：0.25，解得a=250，
200：0.2=c：0.3，c=300，…（2分）
第一、二、三、四组应抽取的汽车分别为4辆、5辆、5辆、6辆．…（6分）

（Ⅱ）在此路口随机抽取一辆汽车，该辆车的车尾号在第二组的概率为$\frac{1}{4}$．
…（8分）
由题意知ξ～B（4，$\frac{1}{4}$），则P（ξ=k）=${C}_{4}^{k}（\frac{1}{4}）^{k}（\frac{3}{4}）^{4-k}$，k=0，1，2，3，4．
ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3	4
P	$\frac{81}{256}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{27}{128}$	$\frac{3}{64}$	$\frac{1}{256}$

…（10分）
Eξ=4×$\frac{1}{4}$=1…（12分）

点评 本题考查超几何分布的概率以及分布列的求法，期望的求法，考查计算能力．