Question

11．央视财经频道《升级到家》栏目答题有奖，游戏规则：每个家庭两轮游戏，均为三局两胜，第一轮3题答对2题，可获得小物件（家电），价值1600元；第二轮3题答对2题，可获得大物件（家具）价值5400元（第一轮的答题结果与第二轮答题无关），某高校大二学生吴乾是位孝顺的孩子，决定报名参赛，用自己的知识答题赢取大奖送给父母，若吴乾同学第一轮3题，每题答对的概率均为$\frac{3}{4}$，第二轮三题每题答对的概率均为$\frac{2}{3}$．
（Ⅰ）求吴乾同学能为父母赢取小物件（家电）的概率；
（Ⅱ）若吴乾同学答题获得的物品价值记为X（元）求X的概率分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （1）由题意赢取小物件即第一轮答对2题，故概率P=$\frac{3}{4}×\frac{3}{4}+（{\frac{3}{4}×\frac{1}{4}+\frac{1}{4}×\frac{3}{4}}）×\frac{3}{4}$，计算即可；
（2）赢取大物件即第二轮答对2题，可得概率P′=$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}+（{\frac{2}{3}×\frac{1}{3}+\frac{1}{3}×\frac{2}{3}}）×\frac{2}{3}$，化简可得；
同理可求P（X=0）和P（X=1600）和P（X=5400）以及P（X=7000），可得X的分布列和期望值．

解答 解：（1）由题意赢取小物件即第一轮答对2题，
∴所求概率P=$\frac{3}{4}×\frac{3}{4}+（{\frac{3}{4}×\frac{1}{4}+\frac{1}{4}×\frac{3}{4}}）×\frac{3}{4}$=$\frac{9}{16}+\frac{9}{32}=\frac{27}{32}$；
（2）赢取大物件即第二轮答对2题，
∴所求概率P′=$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}+（{\frac{2}{3}×\frac{1}{3}+\frac{1}{3}×\frac{2}{3}}）×\frac{2}{3}$=$\frac{4}{9}+\frac{8}{27}=\frac{20}{27}$，
同理可求P（X=0）=（$\frac{1}{4}×\frac{1}{4}$+$\frac{3}{4}$×$\frac{1}{4}×\frac{1}{4}$）×（$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}$）=$\frac{35}{864}$，
P（X=1600）=$\frac{27}{32}$×（$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}$）=$\frac{189}{864}$，
P（X=5400）=（$\frac{1}{4}×\frac{1}{4}$+$\frac{3}{4}$×$\frac{1}{4}×\frac{1}{4}$）×$\frac{20}{27}$=$\frac{100}{864}$
P（X=7000）=$\frac{27}{32}$×$\frac{20}{27}$=$\frac{540}{864}$
可得X的分布列为：

X	0	1600	5400	7000
P	$\frac{35}{864}$	$\frac{189}{864}$	$\frac{100}{864}$	$\frac{540}{864}$

∴$E（X）=0×\frac{35}{864}+1600×\frac{189}{864}+5400×\frac{100}{864}+7000×\frac{540}{864}$=350+625+4375=5350（元）

点评 本题考查离散型随机变量的分布列和期望，涉及概率的加法公式和乘法公式，属中档题．