Question

6．已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax²-x（a≠0）．
（1）讨论F（x）=（1-2a）f（x）+g（x）的单调性；
（2）若函数y=f（x）与y=g（x）的图象有两个不同的交点M、N，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据F（x）得出F′（x）=$\frac{1-2a}{x}$+2ax-1，（x＞0），即F′（x）=$\frac{2a{x}^{2}-x+1-2a}{x}$（x＞0），分类讨论解不等式$\frac{2a{x}^{2}-x+1-2a}{x}$＞0（x＞0）$\frac{2a{x}^{2}-x+1-2a}{x}$＜0（x＞0）判断单调性即可，
判断$\frac{1-2a}{2a}$-1的符号，判断$\frac{1-2a}{2a}$与1的大小关系以及$\frac{1-2a}{2a}$的正负问题，得出分类的标准：：当a＜0时，当a=0时，当0$＜a≤\frac{1}{4}$时，当$\frac{1}{4}$＜a$≤\frac{1}{2}$时，当a$＞\frac{1}{2}$时．
（2）不妨令g（x）=lnx，h（x）=ax²-x，将零点问题转化为交点问题，而h（x）=x（ax-1），①a≤0时，g（x）和h（x）只有一个交点，通过图象一目了然．

解答 解：（1）f（x）=lnx，g（x）=ax²-x（a≠0）．
F（x）=（1-2a）f（x）+g（x）=（1-2a）lnx+ax²-x，
F′（x）=$\frac{1-2a}{x}$+2ax-1，（x＞0），
F′（x）=$\frac{1-2a}{x}$+2ax-1，（x＞0），
即F′（x）=$\frac{2a{x}^{2}-x+1-2a}{x}$（x＞0）
令h（x）=2ax²-x+1-2a=[2ax-（1-2a）][x-1]=0，
当a≠0时，x=$\frac{1-2a}{2a}$或x=1
i）当a=0时，x＞1，F′（x）＞0，
0＜x＜1时，F′（x）＜0
∴F（x）在（0，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增．
ii）当a＜0时，∵$\frac{1-2a}{2a}$＜-1＜1，
∴F（x）在（0，1）上单调递增，（1，+∞）上单调递减．
iii）当a＞0时，∵$\frac{1-2a}{2a}$-1=$\frac{1-4a}{2a}$，
∴当0$＜a≤\frac{1}{4}$时，$\frac{1-2a}{2a}$＞0，$\frac{1-2a}{2a}$＞1，
∴$\frac{2a{x}^{2}-x+1-2a}{x}$＞0时，0＜x＜1或x$＞\frac{1-2a}{2a}$；
$\frac{2a{x}^{2}-x+1-2a}{x}$＜0时，1$＜x＜\frac{1-2a}{2a}$，
即F（x）在（0，1）上单调递增，（$\frac{1-2a}{2a}$，+∞）上单调递增，（1，$\frac{1-2a}{2a}$）上单调递减
当$\frac{1}{4}$＜a$≤\frac{1}{2}$时，$\frac{1-2a}{2a}$＞0，$\frac{1-2a}{2a}$＜1，
∴$\frac{2a{x}^{2}-x+1-2a}{x}$＞0时，0＜x＜$\frac{1-2a}{2a}$或x＞1；
$\frac{2a{x}^{2}-x+1-2a}{x}$＜0时，$\frac{1-2a}{2a}$＜x＜1，
即F（x）在（0，$\frac{1-2a}{2a}$）上单调递增，（1，+∞）上单调递增，（$\frac{1-2a}{2a}$，1）上单调递减
当a$＞\frac{1}{2}$时，$\frac{1-2a}{2a}$＜0，
∴$\frac{2a{x}^{2}-x+1-2a}{x}$＞0时，x＞1；
$\frac{2a{x}^{2}-x+1-2a}{x}$＜0时，0＜x＜1，
∴F（x）在（0，1）上单调递递减，在（1，+∞）上单调递增．
综上：当a＜0时，F（x）在（0，1）上单调递增，（1，+∞）上单调递减．
当a=0时，F（x）在（0，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增
当0$＜a≤\frac{1}{4}$时，F（x）在（0，1）上单调递增，（$\frac{1-2a}{2a}$，+∞）上单调递增，（1，$\frac{1-2a}{2a}$）上单调递减
当$\frac{1}{4}$＜a$≤\frac{1}{2}$时，F（x）在（0，$\frac{1-2a}{2a}$）上单调递增，（1，+∞）上单调递增，（$\frac{1-2a}{2a}$，1）上单调递减
当a$＞\frac{1}{2}$时，F（x）在（0，1）上单调递递减，在（1，+∞）上单调递增．
（2）若函数f（x）=lnx-ax²+x有两个不同的零点，
不妨令g（x）=lnx，h（x）=ax²-x，
将零点问题转化为交点问题，
而h（x）=x（ax-1），
①a≤0时，g（x）和h（x）只有一个交点，
②
如图示：
，
∴a＞0，
故答案为：（0，+∞）．

点评 本题综合考查了运用导数解决函数的单调性，分类讨论解不等式，本题讨论较麻烦，一定要思路清晰，并且结合函数的图象解决函数的零点问题，难度较大．