Question

1．已知函数f（x）=e^x（ax+b）-x²-4x，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=4x+4．
（1）求a、b的值；
（2）讨论f（x）的单调性．

Answer 1

分析 （1）由已知得f（0）=4，f′（0）=4．故b=4，a+b=8，即可得到a，b；
（2）由（1）知，f（x）=4e^x（x+1）-x²-4x，求出导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间．

解答 解：（1）f′（x）=e^x（ax+a+b）-2x-4，
由已知得f（0）=4，f′（0）=4，
故b=4，a+b=8，
∴a=4，b=4．
（2）由（1）知，f（x）=4e^x（x+1）-x²-4x，
∴f′（x）=4e^x（x+2）-2x-4=4（x+2）（e^x-$\frac{1}{2}$）．
令f′（x）=0，得x=-ln2或x=-2，
从而当x∈（-∞，-2）∪（-ln2，+∞）时，f′（x）＞0；
当x∈（-2，-ln2）时，f′（x）＜0；
故f（x）在（-∞，-2），（-ln2，+∞）上单调递增，
在（-2，-ln2）上单调递减．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．