Question

9．已知函数f（x）=x²-2lnx，若0＜x₁＜x₂，求证：$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{ln{x}_{2}-ln{x}_{1}}$＜2x₂．

Answer 1

分析 运用分析法要证原不等式成立，即证ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞$\frac{2（\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}-1）}{\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}+1}$，由于0＜x₁＜x₂，则$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，构造函数g（x）=lnx-$\frac{2（x-1）}{x+1}$（x＞1），求出导数判断单调性，即可得证．

解答 证明：要证$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{ln{x}_{2}-ln{x}_{1}}$＜$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，
即证lnx₂-lnx₁＞$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{2}+{x}_{1}}$，
即证ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞$\frac{2（\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}-1）}{\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}+1}$，
由于0＜x₁＜x₂，则$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，
构造函数g（x）=lnx-$\frac{2（x-1）}{x+1}$（x＞1），
g′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{4}{（x+1）^{2}}$=$\frac{（x-1）^{2}}{x（x+1）^{2}}$＞0，
则g（x）在（1，+∞）递增，即有g（x）＞g（1）=0，
即有lnx＞$\frac{2（x-1）}{x+1}$（x＞1），即有ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞$\frac{2（\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}-1）}{\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}+1}$，
则$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{ln{x}_{2}-ln{x}_{1}}$＜$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，又0＜x₁＜x₂，可得$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$＜x₂＜2x₂
则原不等式得证．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用分析法，以及构造函数通过导数判断单调性的方法，属于中档题．