Question

16．已知函数f（x）=xlnx+f′（1）（$\frac{1}{2}$x+1）-2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若k∈Z，且k＜$\frac{f（x）}{x-1}$对任意x＞1恒成立，求k的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数．令x=1，求得f′（1）=2，即可得到所求f（x）的解析式；
（2）把函数f（x）的解析式代入k（x-1）＜f（x），整理后得k＜$\frac{xlnx+x}{x-1}$，问题转化为对任意x∈（1，+∞），k＜$\frac{xlnx+x}{x-1}$恒成立，求正整数k的值．设函数g（x）=$\frac{xlnx+x}{x-1}$，求其导函数，得到其导函数的零点x₀位于（3，4）内，且知此零点为函数g（x）的最小值点，经求解知g（x₀）=x₀，从而得到k＜x₀，则正整数k的最大值可求．

解答 解：（1）f（x）=xlnx+f′（1）（$\frac{1}{2}$x+1）-2．
导数f′（x）=lnx+1+$\frac{1}{2}$f′（1），
令x=1，则f′（1）=lnx+1+$\frac{1}{2}$f′（1），
求得f′（1）=2，
则f（x）=xlnx+x；
（2）因为f（x）=x+xlnx，所以k（x-1）＜f（x）对任意x＞1恒成立，
即k（x-1）＜x+xlnx，因为x＞1，
也就是k＜$\frac{xlnx+x}{x-1}$对任意x＞1恒成立．
令g（x）=$\frac{xlnx+x}{x-1}$，则g′（x）=$\frac{x-lnx-2}{（x-1）^{2}}$，
令h（x）=x-lnx-2（x＞1），则h′（x）=1-$\frac{1}{x}$，
所以函数h（x）在（1，+∞）上单调递增．
因为h（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-2ln2＞0，
所以方程h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x₀，且满足x₀∈（3，4）．
当1＜x＜x₀时，h（x）＜0，即g'（x）＜0，当x＞x₀时，h（x）＞0，即g'（x）＞0，
所以函数g（x）=$\frac{xlnx+x}{x-1}$在（1，x₀）上单调递减，在（x₀，+∞）上单调递增．
所以[g（x）]_min=g（x₀）=$\frac{{x}_{0}（1+ln{x}_{0}）}{{x}_{0}-1}$．
所以k＜[g（x）]_min=x₀，
因为x₀∈（3，4）．故整数k的最大值是3．

点评 本题考查了导数的运用：求单调区间，考查了数学转化思想，解答此题的关键是，在求解（2）时如何求解函数g（x）=$\frac{xlnx+x}{x-1}$的最小值，学生思考起来有一定难度．此题属于难度较大的题目．