Question

11．在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，且cosB=$\frac{4}{5}$，b=2，设AC边的中线为BM，则BM的最大值为（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 6
• D． 9

Answer 1

分析 设BM=m，∠AMB=α，分别在△ABM和△CBM中由余弦定理2m²=a²+c²-2，再由余弦定理可得b²=a²+c²-2accosB，代入数据由基本不等式可得．

解答 解：设BM=m，∠AMB=α，分别在△ABM和△CBM中，
由余弦定理可得c²=m²+1-2mcosα，a²=m²+1-2mcos（π-α），
∵cosα=-cos（π-α），∴两式相加并整理可得2m²=a²+c²-2，
又由余弦定理可得b²=a²+c²-2accosB，
代入数据可得a²+c²-$\frac{8}{5}$ac=4，即2ac=$\frac{5}{4}$（a²+c²-4），
∵2ac≤a²+c²，∴（a²+c²-4）≤a²+c²，
整理可得a²+c²≤20，即2m²=a²+c²-2≤18，
解得0＜m≤3，∴BM的最大值为3
故选：B

点评 本题考查三角形中的几何计算，涉及正余弦定理和基本不等式求最值，属中档题．