Question

1．如图，某快递公司送货员从公司A处准备开车送货到某单位B处，有A→C→D→B，A→E→F→B两条路线．若该地各路段发生堵车与否是相互独立的，且各路段发生堵车事件的概率如图所示（例如A→C→D算作两个路段；路段AC发生堵车事件的概率为$\frac{1}{6}$，路段CD发生堵车事件的概率为$\frac{1}{10}$）．
（Ⅰ）请你为其选择一条由A到B的路线，使得途中发生堵车事件的概率较小；
（Ⅱ）若记路线A→E→F→B中遇到堵车路段的个数为ξ，求ξ的分布列及其数学期望E（ξ）．

Answer 1

分析 （1）由对立事件概率计算公式，分别计算路线A→E→F→B途中堵车概率、路线A→C→D→B途中堵车概率，由此能求出选择路线路线A→E→F→B的途中发生堵车的概率最小．
（2）由题意，ξ可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的数学期望Eξ．

解答 解：（1）由已知得：路线A→E→F→B途中堵车概率为：1-$\frac{4}{5}×\frac{5}{6}×\frac{4}{5}$=$\frac{7}{15}$，
路线A→C→D→B途中堵车概率为：1-$\frac{5}{6}×\frac{9}{10}×\frac{3}{5}$=$\frac{11}{20}$，
所以选择路线路线A→E→F→B的途中发生堵车的概率最小；
由题意，ξ可能取值为0，1，2，3．
P（ξ=0）=$\frac{4}{5}×\frac{5}{6}×\frac{4}{5}$=$\frac{8}{25}$，
P（ξ=1）=$\frac{1}{5}×\frac{5}{6}×\frac{4}{5}+\frac{4}{5}×\frac{1}{6}×\frac{4}{5}+\frac{4}{5}×\frac{5}{6}×\frac{1}{5}$=$\frac{28}{75}$，
P（ξ=2）=$\frac{1}{5}×\frac{1}{6}×\frac{4}{5}+\frac{1}{5}×\frac{5}{6}×\frac{1}{5}+\frac{4}{5}×\frac{1}{6}×\frac{1}{5}$=$\frac{13}{150}$，
P（ξ=3）=$\frac{1}{5}×\frac{1}{6}×\frac{1}{5}$=$\frac{1}{150}$．
ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{8}{25}$	$\frac{28}{75}$	$\frac{13}{150}$	$\frac{1}{150}$

Eξ=0×$\frac{8}{25}$+1×$\frac{28}{75}$+2×$\frac{13}{150}$+3×$\frac{1}{150}$=$\frac{17}{30}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查学生的计算能力，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．