Question

9．如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面A₁BC⊥侧面A₁ABB₁，且AA₁=AB=2．
（1）求证：AB⊥BC；
（2）若直线AC与平面A₁BC所成的角的正弦值为$\frac{1}{2}$，求锐二面角A-A₁C-B的大小．

Answer 1

分析 （1）取A₁B的中点D，连接AD，由已知条件推导出AD⊥平面A₁BC，从而AD⊥BC，由线面垂直得AA₁⊥BC．由此能证明AB⊥BC．
（2）连接CD，由已知条件得∠ACD即为直线AC与平面A₁BC所成的角，∠AED即为二面角A-A₁C-B的一个平面角，由此能求出二面角A-A₁C-B的大小．

解答 （1）证明：如图，取A₁B的中点D，连接AD，
∵AA₁=AB，∴AD⊥A₁B，
∵平面A₁BC⊥侧面A₁ABB₁，且平面A₁BC∩侧面A₁ABB₁=A₁B，
∴AD⊥平面A₁BC，
又∵BC?平面A₁BC，∴AD⊥BC，
∵三棱柱ABC---A₁B₁C₁是直三棱柱，∴AA₁⊥底面ABC，∴AA₁⊥BC，
又AA₁∩AD=A，从而BC⊥侧面A₁ABB₁，
又AB?侧面A₁ABB₁，故AB⊥BC；
（2）解：连接CD，由（1）可知AD⊥平面A₁BC，
则CD是AC在平面A₁BC内的射影，
∴∠ACD即为直线AC与平面A₁BC所成的角，
又∵sin∠ACD=$\frac{1}{2}$，∴∠ACD=$\frac{π}{6}$，
∵在等腰直角△A₁AB中，AA₁=AB=2，且点D是A₁B中点，
∴AD=$\frac{1}{2}$A₁B=$\sqrt{2}$，且∠ADC=$\frac{π}{2}$，
∴AC=2$\sqrt{2}$，
过点A作AE⊥A₁C于点E，连DE，
由（1）知AD⊥平面A₁BC，则AD⊥A₁C，且AE∩AD=A，
∴∠AED即为二面角A-A₁C-B的一个平面角，
且直角△A₁AC中：AE=$\frac{{A}_{1}A•AC}{{A}_{1}C}$=$\frac{2×2\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
又AD=$\sqrt{2}$，∠ADE=$\frac{π}{2}$，
∴sin∠AED=$\frac{AD}{AE}$=$\frac{\sqrt{2}}{\frac{2\sqrt{6}}{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且二面角A-A₁C-B为锐二面角，
∴∠AED=$\frac{π}{3}$，即二面角A-A₁C-B的大小为$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，注意解题方法的积累，属于中档题．