Question

4．已知函数f（x）=lnx+mx²（m∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若m=0，A（a，f（a）），B（b，f（b））是函数f（x）图象上不同的两点，且a＞b＞0，f′（x）为f（x）的导函数，求证：f′（$\frac{a+b}{2}$）＜$\frac{f（a）-f（b）}{a-b}$＜f′（b）；
（3）求证：$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{5}$+…+$\frac{2}{2n+1}$＜ln（n+1）＜1+$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{n}$．

Answer 1

分析 （1）求导f′（x）=$\frac{1}{x}$+2mx，从而讨论以确定函数的单调性及单调区间；
（2）由题意f（x）=lnx，f′（x）=$\frac{1}{x}$，从而可得f′（$\frac{a+b}{2}$）=$\frac{2}{a+b}$，f′（b）=$\frac{1}{b}$；从而可知要证f′（$\frac{a+b}{2}$）＜$\frac{f（a）-f（b）}{a-b}$，即证$\frac{2（a-b）}{a+b}$＜lna-lnb；化简得$\frac{2（\frac{a}{b}-1）}{\frac{a}{b}+1}$＜ln$\frac{a}{b}$；再令t=$\frac{a}{b}$，则$\frac{a}{b}$＞1；从而构造函数g（t）=lnt-$\frac{2（t-1）}{t+1}$，从而求导证明g（t）＞g（1）=0；从而证明f′（$\frac{a+b}{2}$）＜$\frac{f（a）-f（b）}{a-b}$；同理可证$\frac{f（a）-f（b）}{a-b}$＜f′（b）； 从而得证；
（3）由（2）知$\frac{2}{a+b}$＜$\frac{f（a）-f（b）}{a-b}$＜$\frac{1}{b}$，再令a=n+1，b=n，n∈N^*得，从而可得$\frac{2}{3}$＜ln2-ln1＜1，$\frac{2}{5}$＜ln3-ln2＜$\frac{1}{2}$，…，$\frac{2}{n+n+1}$=$\frac{2}{2n+1}$＜ln（n+1）-lnn＜$\frac{1}{n}$；从而证明．

解答 解：（1）∵f′（x）=$\frac{1}{x}$+2mx，
当m≥0时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）递增；
当m＜0时，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜$\sqrt{-\frac{1}{2m}}$，
令f′（x）＜0，解得：x＞$\sqrt{-\frac{1}{2m}}$，
∴f（x）在（0，$\sqrt{-\frac{1}{2m}}$）递增，在（$\sqrt{-\frac{1}{2m}}$，+∞）递减，
综上，m≥0时，f（x）在（0，+∞）递增，
当m＜0时，f（x）在（0，$\sqrt{-\frac{1}{2m}}$）递增，在（$\sqrt{-\frac{1}{2m}}$，+∞）递减；
（2）证明：∵f（x）=lnx，f′（x）=$\frac{1}{x}$，
∴f′（$\frac{a+b}{2}$）=$\frac{2}{a+b}$，f′（b）=$\frac{1}{b}$；
要证：f′（$\frac{a+b}{2}$）＜$\frac{f（a）-f（b）}{a-b}$；
即证：$\frac{2（a-b）}{a+b}$＜lna-lnb；
即证：$\frac{2（\frac{a}{b}-1）}{\frac{a}{b}+1}$＜ln$\frac{a}{b}$；
令t=$\frac{a}{b}$，则$\frac{a}{b}$＞1；
构造函数g（t）=lnt-$\frac{2（t-1）}{t+1}$，
g′（t）=$\frac{1}{t}$-$\frac{4}{（t+1）^{2}}$=$\frac{（t-1）^{2}}{t（t+1）^{2}}$＞0；
故g（t）=lnt-$\frac{2（t-1）}{t+1}$在（1，+∞）上是增函数，
故g（t）＞g（1）=0；
故f′（$\frac{a+b}{2}$）＜$\frac{f（a）-f（b）}{a-b}$；
同理可证，$\frac{f（a）-f（b）}{a-b}$＜f′（b）；
故f′（$\frac{a+b}{2}$）＜$\frac{f（a）-f（b）}{a-b}$＜f′（b）；
（3）证明：∵$\frac{2}{a+b}$＜$\frac{f（a）-f（b）}{a-b}$＜$\frac{1}{b}$，
∴令a=n+1，b=n，n∈N^*得，
$\frac{2}{3}$＜ln2-ln1＜1，$\frac{2}{5}$＜ln3-ln2＜$\frac{1}{2}$，
…，$\frac{2}{n+n+1}$=$\frac{2}{2n+1}$＜ln（n+1）-lnn＜$\frac{1}{n}$；
故$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{5}$+…+$\frac{2}{2n+1}$＜ln2-ln1+ln3-ln2+…+ln（n+1）-lnn＜1+$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{n}$，
即$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{5}$+…+$\frac{2}{2n+1}$＜ln（n+1）＜1+$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{n}$．

点评 本题考查了导数的综合应用及恒成立问题化为最值问题的方法应用，同时考查了构造函数证明不等式的方法应用，属于难题．