Question

19．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，过右焦点F的直线l交椭圆与P，Q两点
（1）求椭圆的方程
（2）在线段OF上是否存在点M（m，0），使得（$\overrightarrow{MP}$+$\overrightarrow{MQ}$）•（$\overrightarrow{MP}$-$\overrightarrow{MQ}$）=0？若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意可以求出b，根据离心率求出a，即可就出椭圆方程；
（2）先假设线段OF上存在M满足条件，先考虑两种特殊情况：l⊥x轴、l与x轴重合，在考虑一般情况：l的斜率存在且不为0，设出l的方程与椭圆方程联立，利用坐标来表示向量的数量积，从而得出答案．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）由椭圆短轴长为2得b=1，又e=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-1}}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴a=$\sqrt{2}$，
所求椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$…（3分）
（2）假设在线段OF上存在点M（m，0）（0≤m≤1），使得（$\overrightarrow{MP}$+$\overrightarrow{MQ}$）•（$\overrightarrow{MP}$-$\overrightarrow{MQ}$）=0成立，
可得|$\overrightarrow{MP}$|²-|$\overrightarrow{MQ}$|²=0即|$\overrightarrow{MP}$|=|$\overrightarrow{MQ}$|
①当l⊥x轴时，显然线段OF上的点都满足条件，此时0≤m≤1…（5分）
②当l与x轴重合时，显然只有原点满足条件，此时m=0…（6分）
③当l的斜率存在且不为零时，设直线l的方程为y=k（x-1）（k≠0）．
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\\{y=k（x-1）}\end{array}\right.$  可得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，根据根与系数的关系得${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$…（8分）
设$\overrightarrow{MP}=（{x}_{1}-m，{y}_{1}）$，$\overrightarrow{MQ}=（{x}_{2}-m，{y}_{2}）$其中x₂-x₁≠0
∵（$\overrightarrow{MP}$+$\overrightarrow{MQ}$）•（$\overrightarrow{MP}$-$\overrightarrow{MQ}$）=0∴（x₁+x₂-2m）（x₂-x₁）+（y₁+y₂）（y₂-y₁）=0⇒（x₁+x₂-2m）+k（y₁+y₂）=0
⇒2k²-（2+4k²）m=0⇒m=$\frac{{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}=\frac{1}{2+\frac{1}{{k}^{2}}}$（k≠0）．
∴0＜m＜$\frac{1}{2}$．
∴综上所述：①当l⊥x轴时，存在0≤m≤1适合题意
②当l与x轴重合时，存在m=0适合题意
③当l的斜率存在且不为零时存在0＜m＜$\frac{1}{2}$适合题意…（12分）

点评 本题考查了椭圆的性质、直线与椭圆的关系，本题中利用坐标来表示向量是突破问题的关键，同时考查了学生分情况讨论的思想．