Question

10．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的右焦点为F，过F的直线l交椭圆于A、B两点，且$\frac{5}{2}$≤|AF|•|BF|$≤\frac{11}{4}$，求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

分析 设出直线方程，把直线的方程与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系及已知条件即可得出斜率的取值范围．

解答 解：椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的右焦点为F（1，0），
设直线l的方程为y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-1）\\ \frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1\end{array}\right.$，
得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
∵直线l过焦点F，∴△＞0，
且x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
∴|FA|=$\sqrt{{{（x}_{1}-1）}^{2}+{{y}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-1|，
同理|FB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₂-1|，
故|FA|•|FB|=（1+k²）|（x₁-1）（x₂-1）|=（1+k²）|x₁x₂-（x₁+x₂）+1|=$\frac{9（{k}^{2}+1）}{3+4{k}^{2}}$．
由 $\frac{5}{2}$≤|FA|•|FB|$≤\frac{11}{4}$，
∴$\frac{5}{2}≤\frac{9（{k}^{2}+1）}{3+4{k}^{2}}≤\frac{11}{4}$，
解得$\frac{3}{8}$≤k²≤$\frac{3}{2}$．
所以直线l的斜率k的取值范围是[-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，-$\frac{\sqrt{6}}{4}$]∪[$\frac{\sqrt{6}}{4}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$]．

点评 熟练掌握椭圆的定义及性质、直线与椭圆的相交问题的解题方法、根与系数的关系、不等式的解法是解题的关键．