Question

5．如图，已知中心在原点O、焦点在x轴上的椭圆C′过点M（2，1），离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，抛物线C顶点在原点，对称轴为x轴且过点M．
（1）求椭圆C′的方程和抛物线C的方程．
（2）斜率为-$\frac{1}{4}$的直线l不过M点，与抛物线C交于A，B两个不同的点，求证：直线MA，MB与x轴总围成等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）首先设圆锥曲线的方程，进一步根据已知条件利用待定系数法求出结果．
（2）利用直线和圆锥曲线的关系建立方程组，进一步利用根和系数的关系，利用直线的斜率建立方程最后求出k_MA+k_MB=0，从而得到结论．

解答 17．解（1）已知中心在原点O、焦点在x轴上的椭圆C′过点M（2，1），离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
所以：设椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$，
则：$\left\{\begin{array}{l}\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1\\ \frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\\{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}\end{array}\right.$
解得：a²=8，b²=2，
椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$
抛物线C顶点在原点，对称轴为x轴且过点M．
所以设抛物线的方程为：y²=2px（p＞0），把点M的坐标代入抛物线方程得到：${y}^{2}=\frac{1}{2}x$．
（2）设$l：y=-\frac{1}{4}x+b（b≠\frac{3}{2}）A（{x_1}，{y_1}）B（{x_2}，{y_2}）$
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{4}x+b\\{y}^{2}=\frac{1}{2}x\end{array}\right.$
得到：$\frac{1}{8}{x^2}-（b+1）x+2{b^2}=0$，
所以：x₁+x₂=8（b+1），${x}_{1}{x}_{2}=16{b}^{2}$（1）
所以$\begin{array}{c}\\ \begin{array}{\;}{k}_{MA}+{k}_{MB}=\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-2}+\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-2}=\frac{（{y}_{1}-1）（{x}_{2}-2）+（{y}_{2}-1）（{x}_{1}-2）}{（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）}\end{array}\right.\end{array}\right.$
=$\begin{array}{\;}\frac{（-\frac{1}{4}{x}_{1}+b-1）（{x}_{2}-2）+（-\frac{1}{4}{x}_{2}+b-1）（{x}_{1}-2）}{（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）}\end{array}\right.$
=$\frac{-\frac{1}{2}{x}_{1}{x}_{2}+（b-\frac{1}{2}{）（x}_{1}+{x}_{2}）-4（b-1）}{{x}_{1}{x}_{2}-2{（x}_{1}+{x}_{2}）+4}$

将（1）式代入上式得到：k_MA+k_MB=0，
即直线MA与MB关于直线x=2对称．所以直线MA，MB与x轴总围成等腰三角形．

点评 本题考查的知识要点：利用条件求圆锥曲线的方程，利用待定系数法求出结果，一元二次方程和根和系数的关系式的应用．